Transcript: Transformarea sumelor în produse

Pentru a aduce unele expresii la o formă mai simplă, trebuie să transformăm sumele de funcții trigonometrice în produse.
În acest clip ne propunem să găsim formulele pentru sinus de A plus sinus de B, sinus de A minus sinus de B, cosinus de A plus cosinus de B, respectiv cosinus de A minus cosinus de B.
Pentru aceasta vom porni de la aceste două formule, sinusul sumei, respectiv sinusul diferenței.
Vom face următoarea substituție.
O să notez x plus y cu A și x minus y cu B.
Adunând aceste două relații, obținem 2x egal cu A plus B, de unde x este egal cu A plus B supra 2,
iar scăzând cele două relații, obținem 2y egal cu A minus B, iar y este egal cu A minus B pe 2.
Revenim la aceste două formule și adunând relațiile 1 și 2 vom obține sinus de A plus sinus de B egal,
sin de x cos de y plus sin de x cos de y este 2 sin de x cos de y,
în loc de x avem A plus B pe 2, iar în loc de y voi scrie A minus B pe 2.
Acest termen cos de x, sinus de y se reduce.
Am găsit așadar prima formulă de transformare a sumei într-un produs.
Dacă scădem relațiile 1 și 2, obținem sinus de A minus sinus de B egal,
de data aceasta se va reduce termenul sin de x cos de y și vom avea 2 cos de x sinus de y.
Voi scrie mai întâi sinusul și avem 2 sinus de y, unde y este A minus B pe 2,
ori cosinus de x, iar x este A plus B pe 2.
În continuare ne propunem să găsim formulele pentru cosinus.
Pornim de la formula pentru cosinul sumei, respectiv cosinul diferenței.
Adunând relațiile 1 și 2, vom avea cosinus de A plus cosinus de B egal.
Termenul cu sin de x, sin de y se reduce și obținem 2 cos de x, cos de y,
unde x este A plus B supra 2, iar y este A minus B supra 2.
Scăzând relațiile 1 și 2, avem cos de A minus cos de B egal.
Se reduce termenul cos de x, cos de y și vom avea minus 2 sinus de x, sinus de y,
unde x este A plus B pe 2, iar y este A minus B supra 2.
Am demonstrat așadar alte două formule de transformare a sumelor în produse
și mai trebuie să găsim și formulele pentru tangentă.
Ne propunem să găsim formula pentru tangentă de A plus tangentă de B.
Mai exact, dorim să transformăm această sumă într-un produs.
Știm că tangentea este raportul dintre sinus și cosinus,
deci tangentă de A este sinus de A supra cosinus de A,
iar tangentă de B este sinus de B supra cosinus de B.
Aducem la numitor comun și obținem sinus de A cosinus de B plus cos de A sinus de B
totul supra cosinus de A ori cosinus de B.
Dar sin de A cos de B plus cos de A sinus de B este sinus de A plus B supra cos de A cos de B.
Să reținem așadar formula tangentă de A plus tangentă de B egal cu sinus de A plus B supra cosinus de A cosinus de B.
În mod asemănător, se demonstrează formula tangentă de A minus tangentă de B egal cu sinus de A minus B supra cosinus de A cosinus de B.
Aceste rapoarte există dacă numerele cosinus de A și cosinus de B sunt diferite de 0.