Funcțiile trigonometrice pt. argumentul dublu și triplu (aplicații)

În acest clip o să rezolv 3 exerciții în care voi aplica formulele argumentului dublu.

Primul exercițiu se dă cosinus de x egal cu minus 2 supra 3, unde x aparține intervalului pi supra 2 pi.

Se cere să calculăm sinus de 2x, cosinus de 2x, tangentă de 2x, sinus de 4x și cosinus de 4x.

Pentru a calcula sinus de 2x, trebuie mai întâi să calculăm sinus de x.

Unghiul x este încadranul al doilea, prin urmare sinusul va fi pozitiv.

Sinus de x este radical din 1 minus cos pătrat de x.

Și avem radical din 1 minus 4 pe 9 și obținem radical din 5 pe 3.

Acum putem să calculăm sinus de 2x.

Acesta va fi egal cu 2, sinus de x, cosinus de x.

Egal cu 2 ori radical din 5 supra 3 ori minus 2 pe 3.

Și egal cu minus 4 radical din 5 supra 9.

Cosinus de 2x este, haideți să aplicăm această formulă, 1 minus 2 sin pătrat de x.

Și avem 1 minus 2 ori.

Sinus de x este radical din 5 pe 3, deci sinus la pătrat este 5 pe 9.

Egal cu 9 minus 10 minus 1 pe 9.

Tangente de 2x, putem fie să aplicăm această formulă, dar în acest caz trebuie mai întâi să calculăm tangente de x.

Sau o altă variantă este să scriem tangente de 2x, caraportul dintre sinus de 2x și cosinus de 2x, pe care deja le-am calculat.

Sinus de 2x este minus 4 radical din 5 supra 9, iar cos de 2x este minus 1 pe 9.

Se simplifică 9 și obținem 4 radical din 5.

Pentru a calcula sinus de 4x, putem să scriem 4x ca produsul dintre 2 ori 2x.

Și aplicăm prima formulă.

Vom avea 2 ori sinus de 2x ori cosinus de 2x.

Egal cu 2 ori sin de 2x este minus 4 radical din 5 pe 9, iar cosinus de 2x este minus 1 pe 9.

Egal cu 8 radical din 5 supra 81.

Cosinus de 4x este egal cu cosinus din 2 ori 2x.

Egal cu 1 minus 2 sin pătrat de 2x.

Și egal cu 1 minus 2 ori sin de 2x este minus 4 radical din 5 pe 9.

Ridicăm la pătrat și obținem 16 ori 5 supra 81.

Egal cu 81 minus 160 supra 81.

Și egal cu minus 79 supra 81.

Al doilea exercițiu.

Se dă sinus de x egal cu 1 supra 3, unde x aparține intervalului 0 pi supra 2 și se cere tangente de 2x.

Tangente de 2x este egal cu 2 tangente de x supra 1 minus tangentă pătrată de x.

Trebuie așadar să calculăm mai întâi tangente de x.

Tangenta este raportul dintre sinus și cosinus, așadar va trebui mai întâi să calculăm cosinus de x.

x este un ung din cadranul întâi, din intervalul 0 pi supra 2.

Prin urmare, cosinus de x va fi pozitiv.

Cosinus de x este radical din 1 minus sin pătrat de x, adică radical din 1 minus 1 pe 9.

9 minus 1 este 8, radical din 8 este 2 radical din 2 supra 3.

Și acum putem calcula tangentă de x.

Avem sinus de x supra cosinus de x egal.

Sinus de x este 1 pe 3, iar cos de x este 2 radical din 2 supra 3.

Se simplifică 3 și obținem 1 supra 2 radical din 2.

Raționalizăm și obținem radical din 2 supra 4.

Și acum tangentă de 2x va fi 2 ori tangentă de x radical din 2 pe 4 supra 1 minus tangentă pătrată.

Dacă ridicăm această fracție la pătrat obținem 2 pe 16.

Se simplifică și ne rămâne 1 pe 8.

Egal.

Aici se simplifică cu 2 și avem radical din 2 pe 2.

8 minus 1, 7 pe 8.

Egal cu radical din 2 pe 2 ori 8 supra 7.

Egal cu 4 radical din 2 pe 7.

Și ultimul exercițiu.

Se dă sinus de x egal cu 4 pe 5.

x aparține intervalului pi supra 2pi.

Se cere să calculăm sinus de x supra 2.

Vom aplica această formulă punând în locul argumentului x, x supra 2.

Iar în loc de cosinus de 2x vom avea cosinus de x.

Aplicăm așadar formula.

Sinus pătrat de x pe 2 este 1 minus cosinus de x totul supra 2.

Va trebui mai întâi să calculăm cosinus de x.

x este un unghi din cadranul al doilea, din intervalul pi supra 2pi.

Și atunci cosinus de x va fi negativ.

Cosinus de x este minus radical din 1 minus sin pătrat de x.

Egal cu minus radical din 1 minus sin la pătrat este 16 pe 25.

Sub radical efectuăm scăderea.

Vom avea 25 minus 16, 9 pe 25.

Extragem radicalul și ne rămâne 3 pe 5.

Deci sinus la pătrat de x supra 2 este 1 minus cos de x,

adică minus 3 pe 5 plus 3 supra 5 totul supra 2.

Egal cu 8 supra 5 supra 2 și egal cu 8 supra 10.

Se simplifică și ne rămâne 4 pe 5.

Acum trebuie să vedem semnul funcției sinus.

Dacă x este un unghi din cadranul al doilea, pi supra 2pi,

atunci x supra 2 o să aparține intervalului pi supra 4 pi supra 2.

Deci unghiul x supra 2 va fi un unghi în cadranul întâi.

În primul cadran sinusul este pozitiv,

așadar sinus de x supra 2 este mai mare ca 0.

Revenim la această relație

și obținem sinus de x supra 2 egal cu plus radical din 4 pe 5,

adică 2 supra radical din 5.