Aplicații ale trigonometriei în geometrie — Memorator Trigonometrie

Produsul scalar a doi vectori

Vezi videoclipul: Produsul scalar a doi vectori Vezi toată lecția: Produsul scalar a doi vectori Citește teoria: Produsul scalar a doi vectori

$F i e \vec{a}, \vec{b} d o i v e c t o r i ș i α u n g h i u l d i n t r e a c e ș t i a .$

Definiție. Produsul scalar al celor doi vectori este numărul real:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos α .$

Produsul scalar se mai poate exprima și astfel:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = p r_{b} \vec{a} \cdot |\vec{b}| .$

Observații:

$1 . D a c ă α = 90 ° (v e c t o r i i s u n t o r t o g o n a l i) \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 2 . D a c ă α = 0 ° (v e c t o r i i s u n t c o l i n i a r i) \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| .$

Proprietățile produsului scalar

$1 . \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a} (c o m u t a t i v i t a t e) 2 . \vec{a} \cdot \vec{a} = {|\vec{a}|}^{2} \Rightarrow |\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}} 3 . \vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} .$

Cosinusul unghiului dintre doi vectori

$\cos α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{|a|} \cdot |\vec{b}|} .$

Produsul scalar exprimat cu ajutorul coordonatelor

Vezi videoclipul: Produsul scalar exprimat cu ajutorul c... Vezi toată lecția: Produsul scalar a doi vectori Citește teoria: Produsul scalar exprimat cu ajutorul c...

$Fie (O, \vec{i}, \vec{j}) un reper cartezian și vectorii : \vec{a} (a_{1}, a_{2}) \vec{b} (b_{1}, b_{2}) \vec{a} = a_{1} \vec{i} + a_{2} \vec{j} \vec{b} = b_{1} \vec{i} + b_{2} \vec{j} .$

Expresia analitică a produsului scalar al celor doi vectori este:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} .$

Modulul (norma) unui vector

$|\vec{a}| = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}} .$

Cosinusul unghiului a doi vectori

$cos\alpha =\frac{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}}{\sqrt{{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}}\cdot \sqrt{{b_{1}}^{2}+{b_{2}}^{2}}}$

Teorema cosinusului

Vezi videoclipul: Teorema cosinusului Vezi toată lecția: Teorema cosinusului Citește teoria: Teorema cosinusului

Teorema cosinusului:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos A b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos B c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos C .$

Consecință.

$\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} \cos B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} \cos C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} .$

Teorema medianei

Vezi videoclipul: Teorema medianei Vezi toată lecția: Teorema medianei Citește teoria: Teorema medianei

Fie ABC un triunghi și notăm cu

$m_{a}, m_{b,} m_{c}$

lungimile medianelor duse din A, B, respectiv C.

Teorema medianei:

$m_{a}^{2} = \frac{2 (b^{2} + c^{2}) - a^{2}}{4} m_{b}^{2} = \frac{2 (a^{2} + c^{2}) - b^{2}}{4} m_{c}^{2} = \frac{2 (a^{2} + b^{2}) - c^{2}}{4} .$

Teorema sinusurilor (teorie)

Vezi videoclipul: Teorema sinusurilor (teorie) Vezi toată lecția: Teorema sinusurilor Citește teoria: Teorema sinusurilor (teorie)

Fie triunghiul ABC, cu AB= c, AC= b, BC= a și notăm cu R- raza cercului circumscris triunghiului.

Teorema sinusurilor:

În orice triunghi, raportul dintre lungimea unei laturi și sinusul unghiului opus este egal cu diametrul cercului circumscris triunghiului.

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R .$

Teorema sinusurilor (aplicații)

Vezi videoclipul: Teorema sinusurilor (aplicații) Vezi toată lecția: Teorema sinusurilor Citește teoria: Teorema sinusurilor (aplicații)

Fie triunghiul ABC, cu AB= c, AC= b, BC= a și notăm cu R- raza cercului circumscris triunghiului.

Teorema sinusurilor:

În orice triunghi, raportul dintre lungimea unei laturi și sinusul unghiului opus este egal cu diametrul cercului circumscris triunghiului.

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2 R .$

Rezolvarea triunghiurilor

Vezi videoclipul: Rezolvarea triunghiurilor Vezi toată lecția: Rezolvarea triunghiurilor oarecare Citește teoria: Rezolvarea triunghiurilor

A rezolva un triunghi înseamnă a determina toate laturile și unghiurile, cunoscând trei dintre acestea.

Reamintim că în orice triunghi suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180 grade:

$A + B + C = π$

Cazul 1. Se cunosc laturile și se cer unghiurile.

Se folosește teorema cosinusului pentru a determina unghiurile.

Cazul 2. Se cunosc două unghiuri B și C o latură.

Pentru a afla unghiul A avem: A= π-(B+C), iar din teorema sinusurilor aflăm celelalte două laturi.

Cazul 3. Se cunosc două laturi și un unghi.

Folosind teorema cosinusului putem determina a treia latură, iar din teorema sinusurilor aflăm celelalte unghiuri.

Formulele pentru R, r

Vezi videoclipul: Formulele pentru R, r Vezi toată lecția: Razei cercului circumscris și raza cer... Citește teoria: Formulele pentru R, r

Fie ABC un triunghi cu AB= c, AC= b, BC= a și notăm cu:

A- aria triunghiului

s- semiperimetrul triunghiului

R- raza cercului circumscris triunghiului

r- raza cercului înscris în triunghi.

Au loc următoarele relații:

$R = \frac{a b c}{4 A} r = \frac{A}{s}$