Teorema sinusurilor (teorie)

Ca și teorema cosinusului, teorema sinusurilor exprimă o relație între laturile și unghiurile unui triunghi oarecare.

Dar în această teoremă intervine și noțiunea de rază a cercului circumscris.

Orice triunghi are un cerc circumscris, iar centrul acestui cerc este la intersecția mediatorelor.

Pentru cei care nu știu, o mediatoare este o perpendiculară dusă prin mijlocul unui segment.

În triunghiul ABC, mediatoarele laturilor triunghiului sunt aceste segmente desenate punctat cu roz.

Mediatoarele se intersectează în punctul O, iar O este centrul cercului circumscris triunghiului.

Am notat laturile triunghiului ABC cu a mic, b mic și c mic.

Am construit și diametrul BM.

Prin urmare, segmentele BO și OM sunt raze ale cercului circumscris triunghiului.

Și acum să vedem relația din teorema sinusurilor.

A supra sinus de A este egal cu B supra sinus de B egal cu C supra sinus de C și egal cu 2R.

Deci în orice triunghi, raportul dintre o latură și sinusul unghiului opus este egal cu diametrul cercului circumscris triunghiului.

Vom demonstra această teoremă în cazul în care triunghiul este ascuțit unghic, drept unghic și respectiv obtuz unghic.

Mai întâi studiem cazul din imagine în care triunghiul este ascuțit unghic.

O să unim punctele M cu C și astfel s-a format triunghiul BMC drept unghic în C.

Având în vedere că BM este diametrul, unghiul C este un unghi drept.

Să scriem demonstrație.

În triunghiul BMC, unghiul C are măsura egală cu P supra 2 radiani.

Să exprimăm din acest triunghi sinus de M sau sinus de BMC.

Sinusul acestui unghi este raportul dintre cateta opusă unghiului M, adică BC, supra ipotenuza BM.

BC este a mic, iar BM este 2R.

Observăm că unghiul BAC este congruent cu unghiul BMC, deoarece laturile acestor două unghiuri subîntind același arc BC.

Prin urmare, unghiul BAC este congruent cu unghiul BMC.

Din aceste două relații, rezultă că sinus de BAC va fi egal cu A supra 2R.

Iar de aici obținem relația A supra sinusul unghiului BAC, sau mai simplu sinus de A, este egal cu 2R.

În mod asemănător, se demonstrează și celelalte două relații, B supra sinus de B este egal cu C supra sinus de C și egal cu 2R.

Trecem în continuare la cazul al doilea în care triunghiul ABC este drept unghi în A.

Avem în imagine triunghiul ABC cu măsura unghiului A egală cu pi supra 2R.

Trebuie să demonstrăm următoarea relație A supra sinus de A, dar sinus de pi supra 2 este 1, egal cu B supra sinus de B, egal cu C supra sinus de C și egal cu 2R.

Însă având în vedere că triunghiul BAC este drept unghi în A, ipotenuza BC este egală cu diametrul cercului circumscris triunghiului, prin urmare A este egal cu 2R.

Aceasta este relația pe care trebuie să o demonstrăm în continuare.

Din triunghiul BAC exprimăm sinus de B și avem sinus de B egal cateta opusă B mic supra ipotenuza A mic, prin urmare B supra sinus de B egal cu A mic.

Apoi sinus de C este egal cu C supra A, C supra sinus de C este egal cu A mic.

Am demonstrat această relație și trecem la cazul următor în care triunghiul ABC este optuzunghic.

Avem triunghiul ABC optuzunghic, deci măsura unghiului A este mai mare de 90 de grade și am construit diametrul BM.

O să unim punctele M cu C și astfel s-a format patrulaterul ABMC.

Acesta este un patrulater inscriptibil, în consecință unghiurile opuse sunt suplementare.

Deci A plus M este egal cu P.

Triunghiul BCM este dreptunghic în C, unghiul C este drept pentru că BM este diametrul și atunci exprimăm din acest triunghi sinus de M.

Sinus de M este egal cu raportul dintre cateta opusă unghiului M, adică BC, supra ipotenuza BM și egal în continuare cu A supra 2R.

Dar M este P minus A.

Prin urmare sinus de P minus A este egal cu A supra 2R.

Dar sinus de P minus A este egal cu sinus de A.

Am văzut acest lucru în lecția în care am discutat despre reducerea la primul cadran.

Și atunci sinus de A va fi egal cu A supra 2R.

Și în final obținem relația A supra sinus de A este egal cu 2R.

În mod asemănător se demonstrează și celelalte două relații B supra sinus de B este 2R și C supra sinus de C este 2R.

În secvența următoare o să facem câteva aplicații.