Produsul scalar a doi vectori

În această lecție vom defini o operație care asociază unei perechi de vectori un număr real,

iar această operație se numește produs scalar.

Această noțiune este des întâlnită în fizică,

de exemplu, lucrul mecanic este produsul scalar dintre vectorul forță și vectorul deplasare.

Pentru a defini produsul scalar a doi vectori,

vom așeza acei doi vectori astfel încât să aibă aceiași origine

și voi nota cu alfa unghiul dintre aceștia.

Produsul scalar al vectorilor A și B se notează astfel

A ori B și este egal prin definiție cu modulul vectorului A

înmulțit cu modulul vectorului B ori cosinus de alfa.

Această relație se mai poate scrie și astfel

A or B egal cu modul de A ori cos de alfa ori modulul vectorului B.

Dacă duc prin extremitatea vectorului A o perpendiculară pe dreapta suport a vectorului B,

atunci se obține aici proiecția vectorului A pe dreapta B.

Ne uităm în acest triungh dreptunghic și avem cos de alfa

egal cu raportul dintre cateta alăturată și ipotenuză.

Cateta alăturată este proiecția vectorului A pe dreapta B

iar ipotenuza este modulul vectorului A.

Prin urmare modul de A ori cos de alfa

este egal cu proiecția vectorului A pe dreapta B.

Și acum revenind la această relație

și înlocuind modul de A ori cos de alfa cu proiecția vectorului A pe dreapta B

produsul scalar se mai poate scrie astfel

A ori B egal cu proiecția vectorului A pe dreapta B

ori modulul vectorului B.

Aceasta este o altă modalitate de a scrie produsul scalar a doi vectori.

În cazul în care unghiul alfa are măsura egală cu 90 de grade

atunci cei doi vectori se numesc ortogonali.

În acest caz produsul scalar al vectorilor A și B

este egal cu modulul vectorului A ori modulul vectorului B

ori cos de 90 de grade care este 0.

Prin urmare doi vectori A și B sunt ortogonali

dacă și numai dacă produsul scalar este egal cu 0.

Dacă vectorii sunt colineari și au același sens

atunci unghiul alfa are măsura egală cu 0 grade

iar în această situație produsul scalar

este egal cu modulul vectorului A ori modulul vectorului B

ori cos de 0 grade care este egal cu 1.

Prin urmare produsul scalar a doi vectori colineare având același sens

este egal cu produsul modulelor lor.

Să vedem în continuare câteva proprietăți ale produsului scalar.

O primă proprietate, produsul scalar este comutativ

deci A ori B este egal cu B ori A.

Comutativitatea înmulțirii numerelor reale

conduce și la comutativitatea produsului scalar

întrucât modulul vectorului A și modulul vectorului B sunt numere.

O a doua proprietate, produsul scalar al unui vector cu el însuși

A ori A va fi egal cu modulul vectorului A

înmulțit cu modulul vectorului A

ori cos de 0 grade care este egal cu 1.

Deci egal mai departe cu modulul vectorului A la pătrat.

De aici putem deduce că modulul unui vector

este rădăcina pătrată a produsului scalar

al vectorului cu el însuși.

Și o altă proprietate, produsul scalar este distributiv

față de adunarea vectorilor

deci A ori B plus C

este egal cu produsul scalar al vectorilor A și B plus

A ori C.

Din această relație putem să exprimăm

cos de alfa și vom obține

produsul scalar al vectorilor A și B

supra modul de A ori modul de B.

Aceasta este formula prin care putem să calculăm

cosul unghiului dintre cei doi vectori.

Și în continuare vom face doi exerciții.

Primul exercițiu se dă pătratul ABCD cu latura

având lungimea egală cu 6 unități.

Se cere să calculăm produsul scalar

al vectorilor AB și AC.

Acesta va fi egal cu modulul vectorului AB

ori modulul vectorului AC

ori cosul unghiului dintre cei doi vectori.

Din moment ce ABCD este pătrat

iar AC este diagonală

unghiul acesta are măsura egală cu 45 de grade.

Deci avem aici cos de 45.

Egal AB este 6.

Lungimea vectorului AC se poate calcula foarte ușor

cu teorema lui Pitagora.

AC la pătrat este egal cu 6 la pătrat plus 6 la pătrat.

Obținem că AC este egal cu 6 radical din 2.

Deci modulul vectorului AC este 6 radical din 2

iar cosinus de 45 de grade este radical din 2 pe 2.

Egal cu 36.

Și al doilea exercițiu

se dă triunghiul ABC

în care AB are lungimea egală cu 4 unități,

AC are 6 unități,

măsura unghiului BAC este egală cu 60 de grade,

M este mijlocului BC,

deci AM este mediană

și se cere să calculăm modulul vectorului AM.

Vă reamintesc că modulul unui vector la pătrat

este produsul scalar al vectorului cu el însuși.

Vom calcula mai întâi modul de AM la pătrat.

Pentru aceasta voi prelungi segmentul AM

cu un alt segment având aceeași lungime cu acesta.

S-a format astfel un patrulater în care M

este mijlocul diagonalilor.

Prin urmare, patrulaterul ABDC este un paralelogram.

Și acum vom considera vectorii AB

AC

și AM.

Observăm că AM

este jumătate din AD,

dar AD este suma vectorilor AB și AC.

Vă reamintesc că suma a doi vectori

este diagonala paralelogramului

având ca laturi cei doi vectori.

Prin urmare, modulul vectorului AM la pătrat

este egal cu AM ori AM,

adică 1 supra 4

pe lângă AB plus AC

ori AB plus AC.

Și acum desfacem parantezele

și avem 1 pe 4 pe lângă

AB ori AB

plus AB ori AC

plus AC ori AB

plus AC ori AC

egal cu 1 pe 4 pe lângă

AB ori AB este modul de AB la pătrat

plus AB ori AC plus AC ori AB

este egal cu 2 AB ori AC

iar AC ori AC este modul de AC la pătrat

egal cu 1 pe 4 pe lângă

modul de AB la pătrat este 4 la a doua 16

modulului AC la pătrat este 6 la a doua 36

plus 2 ori

aici avem produsul scalar

al vectorilor AB și AC

adică 4 ori 6

ori cosinusul unghiului dintre aceștia

deci cosinus de 60 de grade

egal cu 1 pe 4 pe lângă

52 plus 2 ori 4, 8 ori 6, 48

ori cos de 60, 1 pe 2

egal cu 1 pe 4 ori

52 plus 24 este 76

76 se simplifică cu 4 și ne rămâne 19

deci modul de AM la pătrat este egal cu 19

prin urmare modulul vectorului AM

va fi egal cu radical din 19