Formulele pentru R, r

În acest clip o să demonstrăm formulele de calcul pentru raza cercului circumscris triunghiului și raza cercului înscris.

Începem cu raza cercului circumscris.

Orice triunghi are un cerc circumscris, iar centrul acestui cerc este punctul de intersecție al mediatorelor.

AO, BO și CO sunt raze ale cercului circumscris triunghiului.

Area unui triungh se poate obține calculând produsul a două laturi ori sinusul unghiului dintre ele supra 2.

Deci area este B ori C ori sinus de A supra 2.

De aici avem BC sinus de A egal cu 2 ori area triunghiului.

Știm din teorema sinusurilor că A mic supra sinus de A este egal cu 2R.

Prin urmare, raza cercului circumscris triunghiului va fi egală cu A supra 2 sinus de A.

Aceasta este una din formulele de calcul pentru raza cercului circumscris triunghiului atunci când se cunoaște o latură și unghiul opus acesteia.

Pornind de la această relație A supra 2 sinus de A,

dacă înmulțim și numărătorul și numitorul cu BC, vom obține ABC supra 2 BC ori sinus de A.

Dar BC ori sinus de A este, conform aceste relații, egal cu 2 ori area triunghiului.

Prin urmare, raza va fi egală cu ABC supra 4 ori area triunghiului.

Aceasta este o altă formulă prin care putem să calculăm raza cercului circumscris atunci când se cunosc laturile triunghiului ABC.

Să vedem un exemplu.

Dacă se dă triunghiul ABC în care unghiul C este egal cu Pi supra 4 iar AB are lungimea egală cu 8 unități,

haideți să vedem cum putem să calculăm raza cercului circumscris triunghiului.

Din moment ce cunoaștem un unghi și latura opusă acestuia, putem să aplicăm prima formulă de calcul pentru raza cercului circumscris.

Și vom avea R egal cu AB supra 2 sinus de C.

Egal cu 8 supra 2 ori sinus de Pi supra 4 este radical din 2 pe 2.

Egal cu 8 supra radical din 2 și egal cu 4 radical din 2.

Trecem în continuare la raza cercului înscris în triunghi.

Centrul cercului înscris în triunghi este punctul de intersecție al bisectoarelor.

Segmentele desenate punctat cu roz sunt bisectoarele unghiurilor triunghiului ABC.

Și am notat cu I punctul de intersecție al acestora.

Am construit din I perpendicularele pe laturile A, B și C ale triunghiului.

Proiectând punctul I pe laturile triunghiului, obținem punctele de tangență ale cercului înscris cu laturile triunghiului ABC.

Aceste distanțe sunt egale pentru că un punct situat pe bisectoarea unui unghi este egal depărtat de laturile unghiului.

Am notat aceste distanțe cu R mic, ele fiind raze ale cercului înscris.

Ne propunem în continuare să găsim o formulă de calcul pentru raza cercului înscris în triunghi.

Observăm că area triunghiului ABC se poate scrie ca suma ariilor celor 3 triunghiuri A, I, B plus area triunghiului B, I, C plus area triunghiului A, I, C.

Area triunghiului A, I, B este baza ori înălțimea supra 2.

În cazul nostru baza este C mic, iar înălțimea este R mic, supra 2.

Area triunghiului B, I, C este A ori R supra 2, iar area triunghiului A, I, C este B ori R supra 2.

Egal, dăm factor comun pe R ori A plus B plus C supra 2, dar A plus B plus C este semiperimetrul triunghiului, deci egal în continuare cu R ori S mic.

De aici obținem că raza este egală cu area triunghiului supra semiperimetrul acestuia.

Aceasta va fi formula prin care vom calcula raza cercului înscris în triunghi.

Să facem în continuare o aplicație.

Se dă triunghiul ABC în care măsura unghiului A este egală cu 90 grade, măsura unghiului B este egală cu 60 grade.

Ipotenuza BC are lungimea egală cu 6 unități.

Se cere să calculăm raza cercului înscris în triunghi.

Așa cum am văzut mai devreme, raza este raportul dintre area triunghiului și semiperimetrul acestuia.

Va trebui așadar să calculăm laturile AB și AC.

Putem, de exemplu, să calculăm sinus de B.

Acesta va fi egal cu AC supra BC.

Sinus de 60 grade este radical din 3 pe 2, egal cu AC supra 6.

De aici obținem AC egal cu 3 radical din 3.

Dacă unghiul B are măsura de 60 grade, atunci unghiul C va avea măsura egală cu 30 grade.

AB este catetă opusă unghiului de 30 grade, prin urmare lungimea acesteia va fi jumătate din ipotenuză, deci AB este 3.

Pentru a calcula area triunghiului ABC,

voi aplica formula produsul catetelor supra 2,

deci avem 3 ori 3 radical din 3 pe 2 și egal cu 9 radical din 3 supra 2.

Semiperimetrul triunghiului va fi 3 plus 3 radical din 3 plus 6 supra 2

și egal cu 9 plus 3 radical din 3, dăm factor comun pe 3, 3 pe lângă 3 plus radical din 3, totul supra 2.

Și acum putem să calculăm raza, R va fi egală cu area triunghiului 9 radical din 3 supra 2,

ori 1 pe S, ori 2 supra 3 pe lângă 3 plus radical din 3.

Se simplifică 2, aici simplificăm cu 3 și obținem R egal cu 3 radical din 3 supra 3 plus radical din 3.