Teorema cosinusului

În geometria plană, elementele pe care trebuie să le calculăm nu se află în general în triunghiuri dreptunghice.

De aceea trebuie studiate relațiile dintre unghiurile și laturile unui triunghi oarecare.

Cele mai importante relații sunt cele din teorema cosinusului și teorema sinusurilor.

Teorema cosinusului ne ajută să calculăm una din laturile unui triunghi,

cunoscând celelalte două laturi și unghiul dintre acestea,

sau putem calcula unghiurile triunghiului, cunoscând cele trei laturi.

Avem un triunghi oarecare ABC.

Am notat cu a mic latura opusă unghiului A, cu b mic latura opusă unghiului B și cu c mic latura opusă unghiului C.

Atunci au loc următoarele relații din teorema cosinusului.

a la pătrat este egal cu b la pătrat plus c la pătrat minus 2bc ori cosinus de a.

b la pătrat este egal cu a pătrat plus c pătrat minus 2ac ori cosinus de b.

Iar c la pătrat este egal cu a la pătrat plus b la pătrat minus 2ab ori cosinus de c.

Vom demonstra prima relație, celelalte tratându-se analog.

În triunghiul ABC are loc următoarea relație vectorială.

Vectorul bc este egal cu ac minus ab.

Să scriem această relație.

Deci bc este egal cu ac minus ab.

Dacă ridicăm la pătrat această relație, obținem bc la pătrat egal cu ac minus ab la pătrat

și egal cu ac la a doua minus 2ac ori ab plus ab la pătrat.

Bc s-a notat cu amic, deci a la a doua este egal.

Ac s-a notat cu b mic plus ab la pătrat este c la pătrat minus 2 ori.

Aici avem produsul scalar dintre vectorii ac și ab.

Haideți să calculăm ac ori ab.

Avem modul de ac ori modul de ab

ori cosinusul unghiului dintre vectorii ab și ac, adică cosinus de a

și egal cu b ori c ori cosinus de a.

Revenim la relația de mai sus și în loc de ac ori ab avem bc ori cosinus de a.

Am demonstrat așadar prima relație din teorema cosinusului,

celelalte două relații se demonstrează analog.

O mică observație aș vrea să facem.

În cazul în care măsura unghiului a este egală cu 90 de grade,

deci avem un triunghi dreptunghic,

atunci cosinus de a este 0,

prin urmare acest termen 2bc ori cos de a se anulează,

iar teorema se va scrie a la pătrat egal cu b la pătrat plus c la pătrat.

Obținem astfel chiar teorema lui Pitagora.

Din acest motiv, teorema cosinusului mai poartă denumirea de teorema lui Pitagora generalizată.

Din aceste trei relații putem să exprimăm cosinus de a, cosinus de b și cosinus de c

și obținem următoarele formule.

Cos de a este egal cu b la pătrat plus c la pătrat minus a la pătrat supra 2bc,

cosinus de b este a la pătrat plus c la pătrat minus b pătrat supra 2ac,

iar cosinus de c este a pătrat plus b pătrat minus c pătrat supra 2ab.

Aceste formule ne permit să calculăm unghiurile triunghiului abc,

cunoscând lungimile laturilor acestuia.

Haideți să facem în continuare un exercițiu.

Avem triunghiul abc în care lungimea segmentului ab este de 5 unități,

lungimea segmentului ac este de 7 unități.

Se știe că măsura unghiului a este egală cu 60 de grade

și se cere să calculăm perimetrul triunghiului abc.

Pentru a calcula perimetrul triunghiului abc trebuie să calculăm mai întâi lungimea laturii bc.

Aplicăm teorema cosinusului și avem bc la pătrat

egal cu ab la pătrat plus ac la pătrat minus 2ab ori ac ori cosinus de a.

Deci bc la a doua va fi egal cu 5 la pătrat, adică 25,

plus 7 la a doua, 49 minus 2 ori 5 ori 7 ori cosinus de 60, adică 1 pe 2.

25 plus 49 este 74 minus 5 ori 7, 35.

Obținem 39.

Prin urmare bc va fi egal cu radical din 39.

Și acum putem calcula perimetrul triunghiului abc.

Va fi 5 plus 7 plus radical din 39

și obținem în final 12 plus radical din 39.