Radiani și grade

Salut! În lecția aceasta discutăm despre măsurarea unghiurilor în grade și radiani.

După cum știți din clasele mai mici, măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului mic cuprins între laturile sale.

Un unghi având măsura egală cu 90 de grade se numește unghi drept, iar acesta subîntinde un sfert de cerc,

iar un unghi având măsura egală cu 180 de grade se numește unghi alungit, iar acesta subîntinde un semicerc.

Dacă efectez o rotație completă, atunci obținem un unghi cu măsura de 360 de grade.

Așadar, un cerc întreg are măsura egală cu 360 de grade.

Până acum am discutat despre măsura unghiurilor în grade, însă unghiurile se pot măsura și în radiani.

Haideți să vedem ce este acela un radian.

Dacă unghiul AOB subîntinde un arc având lungimea egală cu raza cercului, atunci măsura unghiului AOB va fi egală cu un radian.

Așadar, un radian este măsura unui arc de cerc având lungimea egală cu raza cercului.

Măsura în radiani a unui arc de cerc, respectiv a unghiului la centru, nu depinde de raza cercului din care face parte.

Un radian este unghiul pentru care raportul dintre lungimea cercului și rază este egal cu 1.

Și acum să vedem care este legătura dintre radian și grade.

Noi știm că lungimea unui cerc este egală cu 2πr.

Dacă un radian corespunde unui arc de lungime r, atunci câți radiani are un cerc întreg?

Păi, 2π radiani.

Pentru că un radian este un unghi care subîntinde un arc de lungime r.

Și atunci unghiul care subîntinde un arc de lungime 2πr are 2π radiani.

Deci un cerc întreg are 2π radiani sau 360 de grade.

Deci are loc egalitatea 360 de grade egal cu 2π radiani.

Dacă împărțim această egalitate la 2, obținem că 180 de grade este egal cu pi radiani.

Deci unghiului de 180 de grade îi corespun pi radiani.

Dacă împărțim acum la pi, obținem că un radian este egal cu 180 de grade supra pi.

Deci putem afla câte grade are un radian dacă efectuăm această împărțire.

Haideți să facem 180 împărțit la pi.

Deci 180 împărțit la 3,1415, obținem 57,29.

Așadar un radian are aproximativ 57 de grade.

Nu trebuie să rețineți acest lucru, însă este foarte important să rețineți aceste două egalități.

Așadar unui unghi cu măsura de 360 de grade îi corespund 2 pi radiani,

iar unghiului cu măsura de 180 de grade îi corespund pi radiani.

De obicei, pentru măsura în radiani nu mai scriem cuvântul rad.

Dacă nu apar grade, atunci se subînțelege că e vorba de măsura în radiani.

De asemenea, putem recunoaște o măsură în radiani și prin faptul că apare pi.

Așadar să reținem că 180 de grade este egal cu pi radiani.

Haideți acum să vedem câți radiani au 90 de grade.

Dacă împărțim relația de mai sus la 2, obținem că 90 de grade este egal cu pi supra 2 radiani.

Dacă împărțim prima relație la 3, obținem că 60 de grade este egal cu pi supra 3 radiani.

Dacă împărțim la 6, avem 30 de grade egal cu pi supra 6 radiani.

Sau dacă împărțim egalitatea la 4, avem 45 de grade egal cu pi supra 4 radiani.

Să vedem cum putem să exprimăm în radiani măsura de 270 de grade.

Observăm că 270 este egal cu 3 ori 90 de grade, deci avem 3 ori pi supra 2 egal cu 3 pi supra 2 radiani.

Haideți să vedem cum putem să găsim o formulă prin care să exprimăm gradele în radiani.

Pentru aceasta vom folosi regula de 3 simplă.

Dacă la 180 de grade îi corespund pi radiani, atunci la o măsură de n grade o să îi corespundă x radiani.

Și avem x egal cu n grade ori pi supra 180.

Iată formula prin care putem să transformăm gradele în radiani.

De exemplu, dacă vreau să transformăm 135 de grade în radiani, deci n este 135, atunci x va fi egal cu 135 pi supra 180.

Putem să simplificăm cu 5. 135 împărțit la 5 este 27, iar 180 împărțit la 5 este 36.

Se mai simplifică cu 9 și ne rămâne 3 supra 4.

Deci avem 3 pi supra 4.

Prin urmare 135 de grade este egal cu 3 pi supra 4 radiani.

Dacă dorim acum să transformăm radiani în grade, folosim din nou regula de 3 simplă.

La pi radiani le corespund 180 de grade și atunci la n radiani o să le corespundă o măsură de x grade.

x va fi egal cu n ori 180 supra pi.

Iată formula prin care putem să transformăm radiani în grade.

De exemplu, dacă vreau să transform în grade 5 pi supra 4 radiani.

Aplicăm formula aceasta și obținem că x este egal.

Înlocuim pe n cu 5 pi supra 4 și putem să scriem astfel 5 pi supra 4 ori 180 supra pi.

Se simplifică pi, simplificăm 180 cu 4, ne rămâne 45.

5 ori 45 este egal cu 225 de grade.

Prin urmare, 5 pi supra 4 este egal cu 225 de grade.