Reducerea la primul cadran

Atunci când trebuie să calculăm valorile funcțiilor trigonometrice ale unghiurilor din cadranele 2, 3 și 4,

pentru a ușura calculele, vom scrie aceste unghiuri cu ajutorul unghiurilor din cadranul 1.

La fel vom proceda și atunci când trebuie să calculăm funcții trigonometrice pentru unghiuri cu măsura mai mare de 360 de grade,

deci care depășesc primul cerc.

Vom aplica unele proprietăți ale funcțiilor trigonometrice, care se pot observa pe cercul trigonometric,

și vom reduce calculul acestora la primul cadran.

Mai întâi să vedem cum se face trecerea din cadranul al doilea în cadranul întâi.

Avem unghiul AOM situat în primul cadran, pe care l-am notat cu X,

și unghiul AOM' situat în cadranul al doilea, pe care dorim să-l exprimăm cu ajutorul unghiului X.

Punctele M și M' sunt simetrice, prin urmare unghiul AOM are aceeași măsură cu unghiul A'OM'.

Din moment ce unghiul AOA' are măsura egală cu 180 de grade sau pi radiani,

atunci unghiul AOM' va fi egal cu pi minus X.

Prin urmare, dacă unghiul A' este un unghi situat în cadranul al doilea,

deci în intervalul pi supra 2pi, atunci acest unghi se va scrie pi minus X,

unde X este un unghi situat în primul cadran.

Și acum să exprimăm sinusul acestui unghi.

Sinusul unghiului AOM' este dat de proiecția punctului M' pe axa OY,

iar aceasta este punctul B.

Dar și proiecția punctului M pe axa OY este tot punctul B,

prin urmare ordonatele acestor puncte coincid.

Putem să scriem așadar că sinusul unghiului pi minus X este egal cu sinus de X.

Cosinusul unghiului pi minus X este abscisa punctului M'

dar aceasta este negativă,

întrucât punctul A' este situat la stânga axei OY

și atunci cosinusul unghiului pi minus X va fi egal cu minus cosinus de X.

Cele două segmente OA și OA' sunt egale în modul,

însă abscisele acestor două puncte au semne diferite.

Să vedem în continuare tangenta și cotangenta.

Tangenta unghiului X este dată de ordonata punctului M de pe tangentă,

deci vorbim de segmentul AM,

iar tangenta unghiului pi minus X este dată de ordonata punctului M'.

Cele două segmente AM și AM' au aceeași lungime,

însă punctul M' este situat sub axea OX,

așadar ordonata punctului M' va fi negativă.

Deci tangentă de pi minus X este egal cu minus tangentă de X.

Cotangenta unghiului X este dată de abscisa punctului S,

deci vorbim de segmentul BS,

iar cotangenta unghiului pi minus X este dată de lungimea segmentului S'B.

Însă punctul S' este situat la stânga axe OY,

așadar abscisa acestui punct este negativă.

Deci cotangenta de pi minus X este egal cu minus cotangentă de X.

Să vedem în continuare cum se face trecerea din cadranul al treilea în cadranul întâi.

Avem unghiul AOM pe care l-am notat cu X

și unghiul AOM' situat în cadranul al treilea

pe care dorim să-l exprimăm cu ajutorul unghiului X.

Unghiurile AOM și A'OM' au aceeași măsură pentru că sunt unghiuri opuse la vârf,

iar măsura unghiului AOA' este egală cu 180 de grade sau pi radiani.

Atunci unghiul AOM' din cadranul al treilea se poate scrie pi plus X,

unde X este unghiul din cadranul întâi.

Alfa este un unghi din cadranul al treilea din intervalul pi, 3pi sub a 2,

iar acest unghi se va scrie pi plus X,

unde X este un unghi din primul cadran.

Proiecția punctului M' pe axa OY este punctul B'

iar proiecția punctului M pe axa OY este punctul B.

Prin urmare, ordonata punctului M' va fi negativă

întrucât acest punct este situat sub axa OX

și atunci sinusul unghiului pi plus X

va fi egal cu minus sinus de X.

Cosinusul acestui unghi este dat de abscisa punctului M'

observăm că punctul A' este situat la stânga axei OY

prin urmare, cosinusul unghiului pi plus X

este egal cu minus cosinus de X

iar cosinus de X este abscisa punctului M

adică proiecția lui M pe axa OX.

Să vedem în continuare tangenta și cotangenta.

Tangenta unghiului X este reprezentată de ordonata punctului M

deci vorbim de lungimea segmentului AM

iar tangenta unghiului pi plus X

dacă prelungim această rază vectoare

obținem același punct M pe tangentă

prin urmare, tangenta unghiului pi plus X

este egală cu tangenta unghiului X.

Cotangenta unghiului X este dată de lungimea segmentului BS

iar cotangenta unghiului pi plus X

este de asemenea egală cu BS.

Prin urmare, cotangenta de pi plus X

este egal cu cotangenta de X.

Și la final să vedem trecerea din cadranul al patrulea în cadranul întâi.

Avem unghiul AOM din cadranul întâi pe care l-am notat cu X

și dorim să exprimăm unghiul AOM' acesta în funcție de X.

Știm că un cerc întreg are 2 pi radian sau 360 de grade

prin urmare, unghiul AOM' din cadranul al patrulea

va fi egal cu 2 pi minus X

unde X este unghiul din cadranul întâi.

Dacă alfa este unghiul din cadranul al patrulea

adică din intervalul 3pi supra 2, 2pi

atunci alfa se va scrie 2pi minus X

unde X este unghiul din cadranul întâi.

Acum sinusul acestui unghi este dat de proiecția punctului M prin pe axa OY

deci avem punctul B'

iar sinusul unghiului X este dat de proiecția punctului M pe axa OY

deci punctul B.

Observăm așadar că ordonata punctului M' este negativă

prin urmare, sinusul unghiului 2pi minus X

va fi egal cu minus sinus de X.

Cosinus de 2pi minus X

este egal cu cosinus de X

deoarece abscisele acestor puncte M și M' coincid.

Proiecția lui M pe axa OX este punctul A

iar proiecția lui M' pe axa OX este de asemenea punctul A.

Și să vedem tangenta și cotangenta.

Tangenta unghiului X este dată de ordonata punctului M

deci e vorba de lungimea segmentului AM

iar tangenta unghiului 2pi minus X

este dată de ordonata punctului M'

Din moment ce punctul M' este situat sub axa OX

atunci putem scrie că tangenta de 2pi minus X

va fi egal cu minus tangentă de X.

Cotangenta unghiului X este dată de abscisa punctului S

iar cotangenta unghiului 2pi minus X

este dată de abscisa punctului S'.

Deci cotangenta de 2pi minus X

va fi egal cu minus cotangenta de X.

În clipul următor o să vedem cum putem să aplicăm aceste relații

pentru a calcula valorile unor funcții trigonometrice.