Formule trigonometrice pentru suma și diferența a două unghiuri

Uneori, pentru a calcula funcțiile trigonometrice ale unor unghiuri,

este necesar să exprimăm aceste unghiuri ca o sumă sau diferență de două unghiuri remarcabile.

De exemplu, dacă dorim să calculăm cosinus de 75 de grade,

vom exprima această măsură ca o sumă de două măsuri remarcabile

și vom avea cosinus de 45 plus 30 de grade.

Noi cunoaștem valorile funcțiilor trigonometrice pentru aceste unghiuri uzuale,

mai trebuie doar să găsim și o formulă care se poate aplica aici și care va returna această valoare.

Așadar, ne propunem în continuare să găsim o formulă de calcul pentru cosinus de A plus B.

Pentru a demonstra această formulă, vom construi două unghiuri pe cercul trigonometric,

iată, am construit două unghiuri pe care le-am notat cu A mic și B mic

și vrem să calculăm cosinus de A plus B.

Trebuie să facem niște construcții auxiliare, așa că o să măresc puțin imaginea,

mai exact o să mărim zona aceasta a primului cadran.

Am notat cu C proiecția punctului B pe axa OX și cu N proiecția punctului B pe raza OA.

Am dus din N două perpendiculare, ND este perpendiculară pe axa OX și NM este perpendiculară pe BC.

S-au format așadar niște triunghiuri dreptunghice.

Triunghiul OSC este dreptunghic în C și triunghiul BNS este dreptunghic în N.

Aceste două unghiuri sunt congruente pentru că sunt unghiurile opuse la vârf.

Din moment ce și unghiurile SCO și BNS sunt congruente, ele fiind unghiuri drepte,

înseamnă că trebuie ca unghiurile COS și SBN să fie și ele congruente.

Prin urmare, unghiul SBN este egal cu A.

Și acum ne uităm în triunghiul dreptunghic BOC și exprimăm din acest triunghi cosinus de A plus B.

Avem triunghiul BOC.

Cosinus de A plus B este cateta alăturată supraipotenuză, deci OC supra OB.

Dar OB este rază în cercul unitate, deci acest raport este egal cu OC.

OC este egal cu OD minus CD, iar CD este congruent cu MN.

Deci avem OD minus MN.

Acum trebuie să exprimăm lungimile acestor segmente OD și MN.

Ne uităm în triunghiul OND și exprimăm cosinus de A.

Cosinus de A este cateta alăturată OD supraipotenuză ON.

Prin urmare, OD este egal cu ON ori cos de A.

Acum ne uităm în triunghiul dreptunghic BMN și exprimăm sinus de A.

Avem MN supra BN.

Deci MN este egal cu BN ori sinus de A.

Acum înlocuim aceste două relații în relația de mai sus și vom avea cosinus de A plus B egal.

În loc de OD avem ON ori cos de A, iar în loc de MN avem BN ori sinus de A.

Ne uităm acum în triunghiul OBN și exprimăm din acest triunghi cosinus de B.

Cosinus de B este ON supra OB, dar OB este 1, deci cosinus de B este ON.

Sinus de B va fi egal cu BN supra OB, deci egal cu BN.

Din toate aceste trei relații o să avem cosinus de A plus B egal.

În loc de ON vom scrie cosinus de B ori cos de A minus.

În loc de BN avem sinus de B ori sinus de A.

Așadar am găsit următoarea formulă.

Cosinus de A plus B este egal cu cosinus de A ori cosinus de B minus sinus de A ori sinus de B.

Și acum putem să calculăm cosinus de 75 de grade.

O să avem cosinus de 45 plus 30 de grade și aplicăm formula de mai sus.

Obținem cos de 45 ori cos de 30 minus sinus de 45 ori sinus de 30.

Cosinus de 45 este radical din 2 pe 2, cos de 30 este radical din 3 pe 2, sin de 45 este radical din 2 pe 2, sin de 30 este 1 pe 2.

Egal cu radical din 6 supra 4 minus radical din 2 supra 4.

Se mai poate da factor comun radical din 2 pe 4 pe lângă radical din 3 minus 1.

Și acum să deducem și formula pentru cosinus de A minus B.

Vom aplica formula găsită mai sus, deoarece cosinus de A minus B se poate scrie cosinus de A plus minus B.

Și vom avea cosinus de A ori cosinus de minus B minus sin de A ori sinus de minus B.

În continuare vom aplica paritatea funcțiilor sinus și cosinus și obținem formula cosinus de A minus B egal cosinus de A ori

funcția cosinus este pară, deci cosinus de minus B este egal cu cosinus de B.

Funcția sinus este impară, deci sinus de minus B va fi minus sinus de B, acel minus trece în față și se va transforma în plus.

Deci vom avea plus sinus de A ori sinus de B.

În continuare vrem să demonstrăm și formulele pentru sinus de A plus B și sinus de A minus B.

Pentru început vă reamintesc formula unghiurilor complementare.

Sinus de X este egal cu cosinus de pi pe 2 minus X.

Și atunci sinus de A plus B va fi egal cu cosinus de pi supra 2 minus A plus B.

Conform aceste relații scrise mai sus.

Care se mai poate scrie egal cu cosinus de pi supra 2 minus A minus B.

Acum aplicăm formula de mai sus cosinus de A minus B, unde această paranteză este A-ul din formula de mai sus, iar B este B.

Și obținem cosinus de pi supra 2 minus A ori cosinus de B plus sinus de pi supra 2 minus A ori sinus de B.

Dar cosinus de pi supra 2 minus A este sinus de A ori cosinus de B plus sinus de pi supra 2 minus A este cosinus de A ori sinus de B.

Am găsit așadar formula sinus de A plus B este egal cu sinus de A ori cosinus de B plus cosinus de A ori sinus de B.

Pentru a deduce formula sinus de A minus B aplicăm formula găsită mai sus pentru că sinus de A minus B este același lucru cu sinus de A plus minus B.

Și vom avea sinus de A ori cosinus de minus B plus cosinus de A ori sinus de minus B.

Folosim în continuare paritatea funcțiilor sinus și cosinus și vom obține formula sinus de A minus B egal cu sinus de A ori cosinus este pară deci cos de minus B este cosinus de B.

Sinus este in pară, acel minus trece în față și va fi minus cos de A ori sin de B.

Este bine să reținem aceste patru formule așa că haideți să le mai citim încă o dată.

Cos de A plus B este egal cu cosinus de A ori cosinus de B minus sinus de A sinus de B.

Cosinus de A minus B este egal cu cos de A cos de B plus sin de A sin de B.

Sinus de A plus B este egal cu sinus de A cosinus de B plus cosinus de A sinus de B.

Și sinus de A minus B este egal cu sin de A cos de B minus cos de A sin de B.

În speranța că nu v-am plictisit cu atâtea demonstrații o să mai deducem repede o formulă.

Tangenta de A plus B.

Știm că tangenta este raportul dintre sinus și cosinus.

Deci avem sinus de A plus B supra cosinus de A plus B.

Egal.

Sinus de A plus B este sin de A cos de B plus cos de A sin de B.

Iar cosinus de A plus B este cos de A cos de B minus sin de A sin de B.

Acum o să împărțim și numărătorul și numitorul la cosinus de A ori cosinus de B.

Și o să avem o fracție mai mare.

La numărător avem sinus de A cosinus de B plus cosinus de A sinus de B totul supra cos de A cos de B.

Iar la numitor avem cos de A cos de B minus sin de A sin de B totul supra cosinus de A ori cosinus de B.

La numărător o să scriem această fracție ca o sumă de două fracții.

Prima fracție va fi sin de A cos de B supra cos de A cos de B.

Se va simplifica cosinus de B și o să ne rămână sinus de A supra cosinus de A.

A doua fracție ar fi cos de A sin de B supra cos de A cos de B.

Se simplifică cosinus de A și ne rămâne sinus de B supra cosinus de B.

La numitor, dacă despărțim această fracție în două, prima fracție va fi cos de A cos de B supra cos de A cos de B.

Se simplifică și ne rămâne 1 minus.

A doua fracție este sinus de A sinus de B supra cosinus de A cosinus de B,

care la rândul ei se poate scrie ca un produs de două fracții.

Sin de A supra cos de A ori sin de B supra cos de B.

Acum, sinus de A supra cosinus de A este tangentă de A.

Sin de B supra cos de B este tangentă de B.

Aici la fel, tangentă de A și tangentă de B.

Așadar, tangentă de A plus B va fi egal cu tangentă de A plus tangentă de B supra 1 minus tangentă de A ori tangentă de B.

În mod analog se demonstrează și formula pentru tangentă de A minus B.

Nu o să mai fac și acele calcule.

Se obține formula tangentă de A minus tangentă de B supra 1 plus tangentă de A ori tangentă de B.

Gata!