Funcția cosinus

În această lecție o să discutăm despre funcția cosinus și proprietățile acesteia.

Avem în imagine un cerc trigonometric și am construit un unghi alfa, căruia îi corespunde pe cerc punctul M.

OM este rază în cercul trigonometric, prin urmare lungimea acesteia este egală cu 1.

Dacă proiectăm raza OM pe cele două axe, OX respectiv OY, obținem abscisa și ordonata punctului M.

Dacă ne uităm în acest triunc dreptunghic, cosinus de alfa este raportul dintre cateta alăturată, adică acest segment roz, și ipotenuza OM.

Însă OM este egal cu 1, prin urmare avem cos de alfa egal cu X.

Observăm așadar că putem să construim o funcție care asociază fiecărui unghi alfa abscisa punctului corespunzător de pe cerc,

iar această funcție va fi funcția cosinus.

Într-un cerc trigonometric putem avea atât unghiuri pozitive cât și negative,

prin urmare domeniul de definiție a funcției cosinus va fi mulțimea numerelor reale.

Și acum haideți să vedem semnul acestei funcții pentru unghiuri în cele patru cadrane.

Dacă alfa este un unghi în cadranul întâi, atunci funcția cosinus este pozitivă.

Observăm că abscisa acestui punct este pozitivă deoarece suntem la dreapta axei OY.

Dacă unghiul alfa este în cadranul al doilea, deci alfa parține intervalului pi supra 2pi,

atunci abscisa punctului M este negativă.

Iată, în acest caz X este negativ pentru că suntem în partea stângă a axei OY.

Dacă unghiul alfa este în cadranul 3, deci alfa aparține intervalului pi 3pi supra 2,

funcția cosinus este de asemenea negativă. Iată, și în acest caz X este negativ.

Iar dacă unghiul este în cadranul al patrulea, deci unghiul alfa este în intervalul 3pi supra 2pi,

atunci funcția cosinus este pozitivă.

Să reținem așadar că funcția cosinus ia valori pozitive în cadranul 1 și 4 și valori negative în cadranul 2 și 3.

Să vedem în continuare imaginea acestei funcții. Cu alte cuvinte, vrem să vedem care este cea mai mică,

respectiv cea mai mare valoare pe care o poate lua funcția cosinus.

Dacă unghiul alfa are 0 radiani sau 0 grade, atunci cosinus de 0 este egal cu 1.

Observăm că abscisa acestui punct este 1, pentru că OM este rază.

Dacă unghiul alfa are pi supra 2 radiani, atunci abscisa punctului va fi 0,

deci cosinus de pi supra 2 este 0.

Dacă alfa are măsura de pi radiani, adică 180 grade, atunci cosinus de pi este minus 1.

Iar dacă alfa este 3pi supra 2, cosinus de 3pi supra 2 va fi 0.

În cazul în care alfa are măsura egală cu 2pi radiani, atunci cosinus de 2pi este egal cu 1.

Observăm așadar că cea mai mică valoare pe care o poate lua funcția cosinus este minus 1,

pentru unghiul cu măsura de pi radiani, și cea mai mare valoare pe care o poate lua este 1,

pentru 0, respectiv 2pi radiani.

Astfel putem trage concluzia că imaginea funcției cosinus este intervalul închis minus 1, 1.

Și acum să discutăm câteva aspecte legate de monotonia funcției.

Dacă unghiul alfa este un unghi în cadranul întâi, atunci funcția cosinus este descrescătoare.

Ne uităm la segmentul roz și observăm că pe măsură ce unghiul alfa crește, abscisa punctului scade.

Așadar funcția cosinus este descrescătoare pentru unghiurile din primul cadran.

Dacă alfa este un unghi în cadranul al doilea, funcția cosinus este de asemenea descrescătoare,

pentru că aici avem valori negative.

Putem verifica monotonia funcției și uitându-ne la abscisele acestor puncte.

Deci funcția cosinus pleacă de la valoarea 0 și ajunge la valoarea minus 1.

Prin urmare, avem o funcție descrescătoare.

În cadranul al treilea, funcția este crescătoare.

Observăm că abscisele acestor puncte cresc și se apropie de valoarea 0.

Iar în cadranul al patrulea, funcția este crescătoare.

În concluzie, funcția cosinus este descrescătoare pe intervalul 0pi și crescătoare pe intervalul pi-2pi.

Deci pentru unghiurile din cadranul 1 și 2, funcția este descrescătoare,

iar pentru unghiurile din cadranul 3 și 4, funcția este crescătoare.

În continuare, ne interesează paritatea acestei funcții.

Vrem să vedem ce se întâmplă pentru unghiuri negative.

Voi construi un unghi negativ.

Am construit acest unghi negativ.

Aici avem unghiul minus alfa.

Observăm că proiecția punctului corespunzător pe axa OX

coincide cu proiecția punctului M pe axa OX.

Prin urmare, cosinus de minus alfa este egal cu cosinus de alfa.

Așadar, funcția cosinus este o funcție pară.

Ca și funcția sinus, funcția cosinus este periodică, având perioada principală 2pi.

Am văzut și în lecția trecută că unghiurilor alfa, alfa plus 2pi,

respectiv alfa minus 2pi, le corespund aceleași puncte pe cercul trigonometric.

Asta deoarece, pornind din acest punct M și efectuând o rotație completă,

fie în sens trigonometric, fie în sens negativ, ajungem în același punct M.

Prin urmare, cosinus de alfa are aceeași valoare cu cosinus de alfa plus 2pi,

respectiv cosinus de alfa minus 2pi.

Așadar, perioada principală a funcției cosinus este 2pi.

În continuare, o să vedem graficul acestei funcții.

Avem în imagine graficul funcției cosinus.

Observăm că această funcție ia valori cuprinse în intervalul închis minus 1, 1.

Cosinus de 0 este 1, cosinus de pi supra 2 este 0,

cosinus de pi este minus 1, cosinus de 3pi pe 2 este 0,

cosinus de 2pi este 1.

Se poate observa și monotonia funcției.

Vedem așadar că în intervalul 0pi funcția este descrescătoare,

iar pe intervalul pi-2pi funcția este crescătoare.

De asemenea, funcția este periodică, având perioada principală 2pi.

Este suficient să trasăm graficul unei funcții periodice

pe un interval de lungimea unei perioade,

de exemplu, pe intervalul 0-2pi,

iar generarea lui pe tot domeniul de definiție se face

translatându-l la stânga și la dreapta, de-a lungul axei OX.