Raza cercului



Cercul este mulțimea punctelor din plan situate la aceeași distanță r față de un punct fix O, numit centrul cercului.

Notație: C(O;r)

 Rază = distanța de la centrul cercului la un punct situat pe cerc; ex: R=OA 

În geometria clasică o rază a unui cerc sau a unei sfere este o dreaptă ce unește centrul acesteia de unul din punctele sale. Raza este 1/2 din diametru.

Relația dintre rază și circumferința unui cerc este:

\(r=\frac{c}{2\pi}\)

Cercul este mulțimea punctelor din plan situate la aceeași distanță r față de un punct fix O, numit centrul cercului.

Notație: C(O;r)

 Raza= distanța de la centrul cercului la un punct situat pe cerc; ex: R=OA 

Coarda= segmentul cu capetele în două puncte ale unui cerc; ex: [AB]

Diametru= coarda ce conține centrul cercului; ex: [MN]; punctele M și N se numesc diametral opuse

• diametrul este cea mai mare dintre coarde, iar lungimea sa este egală cu dublul razei: d = 2r.

Arc de cerc= porțiunea dintr-un cerc determinată de două puncte situate pe cerc; 

$$\begin{gathered} \stackrel{⏜}{AB}-arc mic \\ \stackrel{⏜}{AMB}-arc mare \end{gathered}$$

Semicerc= un arc de cerc având extremități puncte diametral opuse.

Un unghi la centru este un unghi cu vârful în centrul unui cerc.

$\measuredangle AOB-unghi la centru$

Măsura unui arc mic de cerc este:

$m\left(\stackrel{⏜}{AB}\right)=m(\measuredangle AOB)$

Măsura unui arc mare de cerc este:

$m\left(\stackrel{⏜}{AMB}\right)=360°-m(\measuredangle AOB)$

Măsura unui cerc este de 360°.

Măsura unui semicerc este de 180°.

Două sau mai multe arce sunt congruente dacă au aceeași măsura:

$m\left(\stackrel{⏜}{AB}\right)=m\left(\stackrel{⏜}{CD}\right)\Rightarrow \stackrel{⏜}{AB}\equiv \stackrel{⏜}{CD}.$

Diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijlocul arcelor subîntinse de coardă.

În același cerc sau în cercuri congruente, la arce congruente corespund coarde congruente și reciproc, la coarde congruente corespund arce congruente.

$\stackrel{⏜}{AB}\equiv \stackrel{⏜}{CD}\iff \left[AB\right]\equiv \left[CD\right]$

Diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijlocul arcelor subîntinse de coardă.

Două coarde ale unui cerc sunt congruente, dacă și numai dacă sunt egal depărtate de centru.

Există trei cazuri posibile de poziționare a unei drepte față de un cerc:

1. O dreaptă care nu are nici un punct comun cu un cerc se numește exterioară cercului.

2. O dreaptă care are un singur punct comun cu un cerc se numește tangentă la cerc. 

• punctul comun al tangentei cu cercul se numește punct de tangență
• tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangență

• dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce două tangente la cerc, iar acestea sunt congruente.

3. O dreaptă care are două puncte comune cu un cerc se numește secantă față de cerc.

Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

$\boxed{ m(\measuredangle ABC)=\frac{m\left(\stackrel{⏜}{AC}\right)}{2} }$

Consecințe:

• unghiul înscris într-un semicerc este un unghi drept
• toate unghiurile care au vârful pe cerc și ale căror laturi cuprind același arc, sunt congruente.

Unghiul înscris în cerc este unghiul cu vârful pe cerc și care are ca laturi două coarde ale cercului.

Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

$\boxed{ m(\measuredangle ABC)=\frac{m\left(\stackrel{⏜}{AC}\right)}{2} }$

Consecințe:

• unghiul înscris într-un semicerc este un unghi drept
• toate unghiurile care au vârful pe cerc și ale căror laturi cuprind același arc, sunt congruente.

Un patrulater este înscris în cerc, dacă vârfurile sale aparțin cercului.

Un patrulater înscris în cerc are unghiurile opuse suplementare:

$m(\measuredangle ABC)+m(\measuredangle ADC)=180°.$

Dacă un patrulater este înscris în cerc, atunci diagonalele sale formează cu două laturi opuse unghiuri congruente.

$\measuredangle ABD\equiv \measuredangle ACD.$

Un patrulater este inscriptibil dacă acesta poate fi înscris intr-un cerc (dacă există un cerc care să conțină toate vârfurile sale). 

Un patrulater este inscriptibil dacă este îndeplinită una din condițiile:

• are unghiurile opuse suplementare
• diagonalele sale formează cu două laturi opuse unghiuri congruente.

Un patrulater este înscris în cerc, dacă vârfurile sale aparțin cercului.

Un patrulater înscris în cerc are unghiurile opuse suplementare:

$m(\measuredangle ABC)+m(\measuredangle ADC)=180°.$

Dacă un patrulater este înscris în cerc, atunci diagonalele sale formează cu două laturi opuse unghiuri congruente.

$\measuredangle ABD\equiv \measuredangle ACD.$

Un patrulater este inscriptibil dacă acesta poate fi înscris intr-un cerc (dacă există un cerc care să conțină toate vârfurile sale). 

Un patrulater este inscriptibil dacă este îndeplinită una din condițiile:

• are unghiurile opuse suplementare
• diagonalele sale formează cu două laturi opuse unghiuri congruente.

Aria unui cerc (disc) de rază R este:

$\boxed{ {\mathrm{A}}_{○}={\mathrm{\pi R}}^2 }$

Aria unui sector de cerc de rază R ce corespunde unui arc cu măsura de n° este:

$\boxed{ A_{sector}=\frac{{\mathrm{\pi R}}^2\mathrm{n}°}{360°} }$
Observație: uneori se ține cont de distincția între cerc și disc, alteori cei doi termeni sunt folosiți ca sinonime.

• A = π · r² (pi ori raza la patrat)

• π = 3,14…

• L = 2 · π · r

unde A este aria cercului, r este raza cercului, d este diametrul cercului, este o constanta matematica

Circumferinta cercului

unde A_sect este aria sectorului de cerc, r este raza cercului, n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat in grade, iar π este o constanta matematica

Lungimea unui arc de cerc

• L_arc = (2 · π · r · x°)/360° (unde x° este masura unghiului la centru) ⇒
• L_arc = (π · r · x°)/180° (unde x° este masura unghiului la centru)

unde L_arc este lungimea arcului de cerc, r este raza cercului, n este măsura unghiului sectorului de cerc măsurat în grade, iar π este o constanta matematica

Un poligon convex este regulat dacă are toate laturile și toate unghiurile conguente.

Exemple: triunghi echilateral, pătrat, hexagon regulat, etc.

Proprietate. Orice poligon regulat se poate înscrie într-un cerc. Centrul cercului circumscris unui poligon se numește centrul poligonului.

Apotema unui poligon este distanța de la centrul poligonului la o latură. 

[OM], [ON], [OP]- apoteme

Suma măsurilor unghiurilor unui poligon convex cu n laturi este:

$\boxed{ (n-2)·180° }$

Măsura unui unghi al unui poligon cu n laturi este:

$\boxed{ \frac{(n-2)·180°}{n} }$

Măsura unui unghi la centru al unui poligon cu n laturi este:

$\boxed{ \frac{360°}{n} }$

Latura, apotema și aria unui poligon regulat înscris în cerc:

$\boxed{ l_n=2R\sin \frac{180°}{n} }$

$\boxed{ a_n=R\cos \frac{180°}{n} }$

$\boxed{ A_n=n{R}^2\sin \frac{180°}{n}\cos \frac{180°}{n} }$

unde: n- numărul de laturi ale poligonului; R- raza cercului circumscris poligonului.

Dacă R este raza cercului circumscris triunghiului, atunci:

$$\begin{gathered} \boxed{ l_3=R\sqrt{3} \\ a_3=\frac{R}{2} \\ A_3=\frac{3R^2\sqrt{3}}{4} } \end{gathered}$$

Alte formule utile:

$$\begin{gathered} \boxed{ A_3=\frac{l^2\sqrt{3}}{4} } \\ \boxed{ h=\frac{l\sqrt{3}}{2} } \end{gathered}$$

unde h- înălțimea triunghiului.

Dacă R este raza cercului circumscris pătratului, atunci:

$$\begin{gathered} \boxed{ l_4=R\sqrt{2} \\ a_4=\frac{R\sqrt{2}}{2} \\ A_4=2R^2} \end{gathered}$$

Dacă R este raza cercului circumscris pătratului, atunci:

$$\begin{gathered} \boxed{ l_4=R\sqrt{2} \\ a_4=\frac{R\sqrt{2}}{2} \\ A_4=2R^2} \end{gathered}$$

Dacă R este raza cercului circumscris hexagonului, atunci:

$$\begin{gathered} \boxed{ l_6=R \\ a_6=\frac{R\sqrt{3}}{2} \\ A_6=\frac{3R^2\sqrt{3}}{2} } \end{gathered}$$

Alte formule utile:

$$\begin{gathered} \boxed{ A_6=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2} } \\ \boxed{ P=6l } \end{gathered}$$

Dacă R este raza cercului circumscris hexagonului, atunci:

$$\begin{gathered} \boxed{ l_6=R \\ a_6=\frac{R\sqrt{3}}{2} \\ A_6=\frac{3R^2\sqrt{3}}{2} } \end{gathered}$$

Alte formule utile:

$$\begin{gathered} \boxed{ A_6=\frac{3l^2\sqrt{3}}{2} } \\ \boxed{ P=6l } \end{gathered}$$

[AB]- diametrul cercului (d)

[OM]- raza cercului (R)

d = 2R

Raportul dintre lungimea (circumferința) unui cerc și diametrul său este constant. Această constantă are valoarea aproximativă ≈3,14 și se numește Pi.

$$\begin{gathered} \overline{)\mathrm{\pi }=\frac{\mathrm{L}}{\mathrm{d}} \Rightarrow \mathrm{L}=\mathrm{\pi d} \\ \mathrm{d}=2\mathrm{R} }\Rightarrow \mathrm{L}=2\pi R \end{gathered}$$

unde L- lungimea cercului, d- diametru, R- raza.

$\mathrm{\pi }\simeq 3,14$

Prin urmare, lungimea unui cerc este:

$\boxed{ \mathrm{L}=2\mathrm{\pi R} }$

Lungimea unui arc de cerc se calculează după formula:

$\boxed{ L_{arc}=\frac{\mathrm{\pi Rn}°}{180°} }$

unde n°- măsura arcului respectiv.