Latura, apotema și aria pătratului (teorie)

În această lecție o să vedem care sunt formulele de calcul pentru latura, apotema și aria unui pătrat,

în funcție de raza cercului circumscris pătratului.

Pornim de la aceste formule pe care le-am dedus într-o lecție anterioară, referitoare la un poligon cu N laturi.

Am determinat atunci formula de calcul pentru latura, apotema și aria unui poligon în general.

N este numărul de laturi ale poligonului.

În cazul pătratului N este 4 și atunci latura pătratului va fi egală cu 2R ori sinus de 180 de grade

supra 4, egal cu 2R ori sinus de 45 de grade, egal cu 2R ori radical din 2 supra 2.

Se simplifică 2 și obținem R radical din 2.

Deci latura pătratului este raza ori radical din 2.

Apotema pătratului este R ori cosinus de 180 de grade

supra 4, egal cu R ori cosinus de 45 de grade, egal cu R ori radical din 2 supra 2

și egal cu raza radical din 2 supra 2.

Aria pătratului este 4 ori R la a 2-a ori sinus de 180 de grade supra 4

ori cosinus de 180 de grade supra 4, egal cu 4R la a 2-a ori sinus de 45 care este radical din 2 pe 2

ori radical din 2 pe 2, egal.

2 ori 2 este 4 și se simplifică cu 4 de la numărător.

Radical din 2 ori radical din 2 este 2.

Deci obținem 2R la a 2-a.

Aria pătratului va fi 2 ori raza la a 2-a.

Dacă dorim să exprimăm aria pătratului în funcție de latură, știm deja această formulă, este latura la pătrat.

În cazul în care dorim să calculăm perimetrul pătratului, înmulțim latura pătratului cu 4.

Deci perimetrul pătratului va fi 4 ori latura, egal cu 4 ori raza radical din 2.

În cazul în care dorim să calculăm latura și apotema pătratului în funcție de raza cercului circunscris

și nu reținem aceste formule de la care am pornit,

mai există și o altă metodă de a le calcula.

Putem să aplicăm, de exemplu, teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABD

și obținem o relație între latura pătratului și raza cercului circunscris.

Aceste segmente BO, AO, DO și CO sunt raze, iar OM este apotema pătratului.

Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic ABD.

AB la pătrat plus AD la pătrat este egal cu BD la pătrat.

AB și AD sunt laturi, deci L la a doua plus L la a doua este egal cu BD.

Ipotenuza este formată din două raze BO plus OD și atunci putem să scriem 2R totul la pătrat.

2L la a doua este egal cu 4R la a doua.

Împărțim la 2 și obținem că latura la a doua este egală cu 2 ori raza la pătrat.

Latura va fi egal cu radical din 2R la a doua.

Latura este raza radical din 2.

Evident am obținut aceeași formulă ca și mai devreme.

În continuare o să calculăm apotema pătratului în funcție de raza cercului circunscris.

Observăm că OM este linie mijlocie în triunghiul BDC și atunci OM va fi jumătate din lungimea latului pătratului.

Deci apotema este latura supra 2 și egal cu R radical din 2 supra 2.

Aceasta va fi formula de calcul pentru apotema pătratului în funcție de raza cercului.

Iar aria va fi bineînțeles latura la a doua egal cu R radical din 2 totul la a doua și egal cu 2R pătrat.

Aceasta este formula de calcul a ariei în funcție de raza cercului.

În continuare o să facem o problemă.

Calculați latura apotema și aria unui pătrat înscris în același cerc cu un triunghi echilateral de arie 27 radical din 3 cm pătrați.

Pentru a calcula latura apotema și aria pătratului mai întâi trebuie să calculăm raza cercului circunscris.

Având în vedere că în același cerc este înscris și un triunghi echilateral și știm aria acestuia,

putem să determinăm raza cercului circunscris aplicând formula de calcul pentru aria triunghiului echilateral.

A3, adică aria triunghiului, este 3 ori raza la a doua radical din 3 supra 4 și aceasta este egală cu 27 radical din 3.

Din această relație o să exprimăm raza, îl mulțim pe diagonală, 3 r la a doua radical din 3 egal cu 4 ori 27 radical din 3.

Împărțim la radical din 3 și obținem 3 r la a doua egal cu 4 ori 27.

Împărțim relația la 3.

r la a doua egal cu 4 ori 27 supra 3.

Se simplifică 27 cu 3 și obținem 9.

r la pătrat este 4 ori 9 36.

Raza este egală cu 6 centimetri.

Am determinat lungimea razei cercului circunscris pătratului.

Putem să calculăm acum latura pătratului.

L4 este raza radical din 2 și egal cu 6 radical din 2.

Apotema pătratului este raza radical din 2 supra 2 egal cu 6 radical din 2 supra 2 și egal cu 3 radical din 2.

Area pătratului este 2 ori raza la a doua sau latura la a doua egal cu 2 ori 6 la a doua egal cu 2 ori 36 egal cu 72 centimetri pătrati.