Coarde şi arce în cerc (teorie)

În această lecție o să vedem câteva teoreme referitoare la coarde și arce în cerc.

Prima teoremă, în același cerc sau în cercuri congruente, la arce congruente corespund coarde congruente.

Mai putem spune că arcele congruente sunt subîntinse de coarde congruente.

În această figură, arcul AB este congruent cu arcul CD și trebuie să arătăm că segmentele AB și CD sunt congruente.

Pornim de la relația scrisă în ipoteză și anume, arcul AB este congruent cu arcul CD.

Asta înseamnă că măsurile celor două arce sunt egale.

Măsura arcului AB este egală cu măsura arcului CD.

Dar măsura arcului AB este egală cu măsura unghiului la centru AOB.

Iar măsura arcului CD este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător.

Și atunci din această relație putem să scriem că măsura unghiului AOB este egală cu măsura unghiului COD.

Din această relație va rezulta că unghiul AOB va fi congruent cu unghiul COD.

În continuare vom arăta că triunghiurile AOB și COD sunt congruente.

Știm că OA și OC sunt raze, așadar cele două segmente vor fi congruente.

OA este congruent cu OC pentru că sunt raze.

Apoi am arătat că unghiul AOB este congruent cu unghiul COD.

Iar segmentele OB și OD sunt congruente pentru că și acestea sunt raze.

OB este congruent cu OD fiind raze.

Din cele trei relații va rezulta că triunghiul AOB este congruent cu triunghiul COD, conform cazului de congruență latură-unghi-latură.

Iar congruența acestor două triunghiuri implică și congruența segmentelor AB și CD.

AB va fi congruent cu CD.

Și am demonstrat astfel că arcele congruente sunt subîntinse de coarde congruente.

Este valabilă și reciproc acestei teoreme.

În același cerc sau în cercuri congruente, la coarde congruente corespund arce congruente.

Și atunci putem să scriem această relație.

Segmentul AB este congruent cu segmentul CD, dacă și numai dacă arcul AB este congruent cu arcul CD.

Urmează teorema numărul 3.

Într-un cerc, diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijlocul arcelor subîntinse de coardă.

În figura de mai jos avem o coardă AB și diametrul MN perpendicular pe această coardă.

Trebuie să arătăm că diametrul MN trece prin mijlocul coardei AB, prin mijlocul arcului mic AB și prin mijlocul arcului mare AB.

Vom demonstra această teoremă.

Se știe că MN este diametrul, MN este perpendicular pe AB și am notat cu P intersecția dintre dreptele MN și AB.

Trebuie să arătăm că punctul P este mijlocul segmentului AB.

Cu alte cuvinte arătăm că segmentul AP este congruent cu segmentul PB.

Apoi trebuie să arătăm că arcul AN este congruent cu arcul NB și că arcul AM este congruent cu arcul MB.

Dacă OA și OB sunt raze, înseamnă că aceste două segmente au aceeași lungime.

Adică triunghiul AOB este un triunghi soscel.

Dacă dreapta OP este perpendiculară pe AB, înseamnă că OP este înălțime, dar într-un triunghi soscel, înălțimea este și mediană, mediatoare și bisectoare.

Dacă OP este mediană, atunci punctul P este mijlocul segmentului AB.

Și astfel am demonstrat prima relație din concluzia teoremei.

Știm că OA este egal cu OB pentru că sunt raze și atunci rezultă că triunghiul AOB este un triunghi isoscel.

OP este înălțime pentru că OP este perpendiculară pe AB și atunci va rezulta că OP este și mediană.

Deci punctul P va fi mijlocul segmentului AB.

Prin urmare, segmentul AP este congruent cu segmentul PB.

Am demonstrat prima relație. Acum trebuie să arătăm că arcul AN este congruent cu arcul NB.

În acest triunghi isoscel, OP va fi și bisectoarea unghiului AOB.

Rezultă că unghiul AOP va fi congruent cu unghiul BOP.

Prin urmare, unghiul AON va fi congruent cu unghiul BON.

Rezultă că arcul AN va fi congruent cu arcul NB pentru că măsura unui arc este egală cu măsura unghiului la centru corespunzător.

Din această relație va rezulta că arcul AN este congruent cu arcul NB.

Am demonstrat astfel și cea de-a doua relație din concluzia teoremei.

Ultima relație se demonstrează asemănător. Nu o să mai fac și această demonstrație.

Rețineți așadar că într-un cerc, diametrul perpendicular pe o coardă trece prin mijlocul coardei și prin mijlocul arcelor subîntinse de acea coardă.

Continuăm cu teorema numărul 4.

Două coarde ale unui cerc sunt congruente dacă și numai dacă sunt egal depărtate de centru.

Segmentul AB este congruent cu segmentul CD dacă și numai dacă distanța de la punctul O la AB este egală cu distanța de la punctul O la CD.

Vă reamintesc că distanța de la un punct la o dreaptă este perpendiculara dusă din acel punct pe dreaptă.

Această teoremă are o dublă implicație, prin urmare trebuie să facem două demonstrații.

O să începem cu demonstrația implicației directe.

Pornind de la relația AB congruent cu CD, trebuie să demonstrăm că distanța de la punctul O la dreapta AB este egală cu distanța de la punctul O la dreapta CD.

Mai exact trebuie să demonstrăm că segmentele OM și ON sunt congruente.

Având în vedere că OA și OB sunt raze, ele vor fi congruente și atunci putem să scriem că triunghiul AOB este isoscel.

OM este perpendiculară pe AB din construcție, înseamnă că OM este înălțime, dar într-un triunghi isoscel, înălțimea este și mediană.

Înseamnă că punctul M este mijlocul latului AB și atunci putem să scriem că lungimea segmentului AM este jumătate din lungimea segmentului AB.

În mod analog se arată că triunghiul COD este isoscel pentru că OC și OD sunt raze.

ON este perpendiculară pe CD, înseamnă că ON este înălțime, prin urmare ON va fi mediană, deci punctul N va fi mijlocul latului CD

și putem să scriem că lungimea segmentului CN este jumătate din lungimea segmentului CD.

Dar aceste două segmente AB și CD sunt egale, ele au aceeași lungime, știm acest lucru din ipoteză.

Pentru că AB este egal cu CD și atunci din aceste trei relații, din relațiile 1, 2 și 3, va rezulta că AM este congruent cu CN.

În continuare o să arătăm că triunghiul AOM este congruent cu triunghiul CON.

Acestea sunt triunghiuri dreptunghice și atunci este suficient să scriem două elemente corespondente congruente.

Am găsit că AM este congruent cu CN și mai știm că AO este congruent cu OC, acestea fiind raze, și atunci va rezulta că cele două triunghiuri sunt congruente, conform cazului de congruență ipotenuză-catetă.

Mai știm că AO este congruent cu OC, acestea fiind raze, și atunci din aceste două relații va rezulta, conform cazului de congruență ipotenuză-catetă, că triunghiul AOM este congruent cu triunghiul CON,

iar congruența acestor două triunghiuri implică și congruența segmentelor OM și ON.

Dar OM și ON erau distanțele de la punctul O la cele două coarde și atunci putem să scriem că distanța de la punctul O la dreapta AB este egală cu distanța de la punctul O la dreapta CD.

Am demonstrat implicația directă a acestei teoreme, mai trebuie să demonstrăm și implicația inversă.

O să șterg prima demonstrație pentru a avea spațiu.

Pentru a demonstra implicația inversă, pornim de la faptul că distanța de la punctul O la AB este egală cu distanța de la punctul O la CD și trebuie să arătăm că segmentul AB este congruent cu segmentul CD.

Vom demonstra mai întâi congruența triunghiurilor hașurate AOM și CON.

De data aceasta știm că OM este congruent cu ON.

Acest lucru se dă în ipoteză.

Mai știm că OA este congruent cu OC pentru că sunt raze.

Și atunci va rezulta, conform cazului de congruență ipotenuză catetă, că triunghiul AOM este congruent cu triunghiul CON.

Din relația aceasta va rezulta că AM este congruent cu CN.

În mod asemănător, se arată că triunghiurile OBM și ODN sunt congruente.

Analog arătăm că triunghiul OBM este congruent cu triunghiul ODN.

Iar din congruența celor două triunghiuri va rezulta că segmentul BM este congruent cu segmentul DN.

Am arătat astfel că lungimea segmentului AM este egală cu lungimea segmentului CN și că lungimea segmentului BM este egală cu lungimea segmentului DN.

Adunăm aceste două relații membru cu membru și obținem că AM plus BM este egal cu CN plus DN.

Însă AM plus MB formează lungimea segmentului AB, iar CN plus ND formează lungimea segmentului CD.

Am arătat astfel că cele două coarde au aceeași lungime.

Deci putem să scriem că segmentul AB este congruent cu segmentul CD și astfel am demonstrat și implicația inversă.

Urmează teorema numărul 5.

Ultima teoremă, dacă două coarde ale unui cerc sunt paralele, atunci arcele cuprinse între ele sunt congruente.

Dacă AB este paralelă cu CD, atunci arcul AC va fi congruent cu arcul BD.