Unghi înscris în cerc (teorie)

Să privim puțin aceste figuri geometrice și să vedem ce asemănări și deosebiri există între ele.

În primul caz, observăm că vârful unghiului este situat pe cerc.

În al doilea caz, vârful unghiului este situat în exteriorul cercului.

În a treia figură, vârful unghiului este situat pe cerc.

Iar în a patra figură, vârful unghiului este situat în interiorul cercului.

Putem astfel să remarcăm că figurile 1 și 3 sunt asemănătoare

prin faptul că cele două unghiuri au vârfurile situate pe cerc,

iar laturile lor sunt coarde ale cercului.

Astfel de unghiuri se vor numi unghiuri înscrise în cerc.

O să dăm și definiția.

Se numește unghi înscris în cerc, unghiul cu vârful pe cerc

și care are ca laturi două coarde ale cercului.

Astfel putem spune că unghiurile BAC și MNP sunt unghiuri înscrise în cerc.

Arcele mici BC și MP se numesc arce cuprinse între laturile unghiurilor înscrise.

În continuare o să vedem ce legătură există între măsura unghiului înscris în cerc

și măsura arcului cuprins între laturile sale.

Mai întâi o să vedem o teoremă care ne va fi utilă în demonstrația următoarelor teoreme.

Dacă A și B sunt două puncte distincte ale unui cerc și M este un punct care aparține arcului AB,

atunci măsura arcului AB se compune din măsura arcului AM plus măsura arcului MB.

Și în continuare o să dăm o teoremă referitoare la măsura unui unghi înscris într-un cerc.

Teorema numărul 2. Măsura unui unghi înscris într-un cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Vom demonstra această teoremă și o să vedem că există trei cazuri posibile în funcție de poziția punctului O față de unghiul BAC.

În primul caz considerăm că punctul O aparține unei laturi a unghiului, deci coarda AC este chiar diametrul cercului.

În primul caz ne propunem să arătăm că măsura unghiului BAC este jumătate din măsura arcului BC.

Pentru aceasta o să unesc punctele B și O.

Astfel s-a format un triunghi, triunghiul AOB.

Acesta este un triunghi isoscel, deoarece laturile AO și BO sunt congruente, acestea fiind raze ale cercului.

Prin urmare, triunghiul AOB are unghiurile de la bază congruente și mai putem observa că unghiul BOC este un unghi exterior acestui triunghi

și vom aplica teorema referitoare la măsura unghiului exterior unui triunghi.

Mai întâi să scriem că triunghiul AOB este un triunghi isoscel pentru că AO este egal cu BO și egal cu raza cercului.

Prin urmare, măsura unghiului ABO va fi egală cu măsura unghiului BAO pentru că triunghiul isoscel are unghiurile alăturate bazei congruente.

Unghiul BOC este un unghi exterior triunghiului AOB și vom aplica teorema referitoare la măsura unui unghi exterior unui triunghi.

Aceasta este egală cu suma unghiurilor triunghiului neadiacente cu el.

Deci măsura unghiului BOC va fi egală cu măsura unghiului ABO plus măsura unghiului BAO.

Însă cele două măsuri sunt egale pentru că unghiurile sunt congruente

și atunci putem să scriem că măsura unghiului BOC va fi egală cu 2 ori măsura unghiului BAO.

Noi trebuie să arătăm că măsura unghiului BAC este jumătate din măsura argului BC.

Din această relație exprimăm măsura unghiului BAO, împărțim egalitatea la 2

și astfel obținem că măsura unghiului BAO va fi egală cu măsura unghiului BOC supra 2.

Dar unghiul BOC este unghi la centru, iar măsura unui unghi la centru este egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale.

Deci măsura unghiului BOC va fi egală cu măsura arcului BC supra 2.

Am arătat astfel că măsura unghiului BAO este jumătate din măsura arcului BC,

prin urmare și măsura unghiului BAC, adică măsura unghiului înscris în cerc, este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Am arătat că teorema este adevărată în cazul în care punctul O aparține uneia dintre laturile unghiului.

Continuăm cu al doilea caz, cazul 2.

Ne propunem să arătăm că măsura unghiului BAC este jumătate din măsura arcului BC.

Dacă punctul O este situat în interiorul unghiului, putem să ducem o dreaptă care să treacă prin punctele A și O.

Această dreaptă intersectează cercul în punctul D. Cu alte cuvinte, am construit diametrul AD.

Atunci măsura unghiului BAC este suma măsurilor unghiurilor BAD și DAC.

Dar măsura unghiului BAD este jumătate din măsura arcului BD.

Am văzut acest lucru la primul caz, cel pe care l-am demonstrat mai devreme, în care punctul O este situat pe una dintre laturile unghiului.

Deci putem să scriem egal în continuare cu măsura arcului BD supra 2.

Iar măsura unghiului DAC va fi jumătate din măsura arcului DC.

Observăm astfel că al doilea caz se reduce la primul caz.

Măsura arcului BD plus măsura arcului DC este egală cu măsura arcului BC supra 2.

Am demonstrat astfel că măsura unghiului înscris BAC este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Și mai există o variantă posibilă, cea în care punctul O este situat în exteriorul unghiului BAC.

Acesta va fi cazul 3.

Avem unghiul înscris în cerc BAC și ne propunem să demonstrăm că măsura acestui unghi este jumătate din măsura arcului BC.

Aceasta este cazul 3.

Dacă punctul O este situat în exteriorul unghiului, putem să construim și de această dată diametrul AD

și vom exprima măsura unghiului BAC ca fiind diferența dintre unghiurile BAD și CAD.

Măsura unghiului BAC va fi egală cu măsura unghiului BAD minus măsura unghiului CAD.

Dar măsura unghiului BAD este jumătate din măsura arcului BD.

Observăm că și cazul 3 se reduce la primul caz, cel în care punctul O este situat pe una dintre laturile unghiului.

Egal cu măsura arcului BD supra 2 minus măsura unghiului CAD va fi și aceasta jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale, mai exact jumătate din măsura arcului CD.

Însă măsura arcului BD minus măsura arcului CD este egală cu măsura arcului BC.

Egal cu măsura arcului BC supra 2.

Această teoremă are și niște consecințe importante.

O prima consecință, unghiul înscris într-un semicerc este un unghi drept.

Dacă BC este un diametru în acest cerc, atunci arcul BC se numește semicerc, iar unghiul BAC va fi un unghi înscris într-un semicerc.

Dacă un cerc întreg are măsura de 360 de grade, înseamnă că semicercul BC are măsura egală cu 180 de grade,

iar unghiul înscris într-un semicerc va fi jumătate din măsura arcului BC, adică 180 de grade supra 2 și obținem 90.

Și o a doua consecință importantă, toate unghiurile înscrise în același arc sunt congruente.

Avem 3 unghiuri cu vârfurile în punctele M, N și P.

Măsurile celor 3 unghiuri vor fi toate egale cu jumătate din măsura arcului AB.

Prin urmare, cele 3 unghiuri, M, N și P, vor fi unghiuri congruente.

Acum putem să extindem puțin această noțiune de unghi înscris în cerc

și în continuare o să vedem o teoremă referitoare la un alt tip de unghi,

cel care are una din laturi secantă la cerc și cealaltă tangentă la cerc.

Astfel, măsura unui unghi cu vârful pe cerc, care are una dintre laturi secantă iar cealaltă tangentă la cerc,

este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Observăm astfel că teorema rămâne valabilă și în acest caz.

Și atunci putem să scriem că măsura unghiului BAC va fi egală cu măsura arcului BA

supra 2.

În continuare o să definim triunghiul înscris în cerc.

Un triunghi este înscris într-un cerc dacă vârfurile sale aparțin cercului.

În această figură observăm că vârfurile triunghiului ABC sunt puncte situate pe cerc,

iar în acest caz triunghiul ABC se numește triunghi înscris în cerc,

iar cercul se va numi cerc circumscris triunghiului ABC.