Lungimea cercului și lungimea unui arc de cerc

Cercul este o formă geometrică specială, iar perimetrul său va avea o denumire specială.

Se va numi circunferință sau lungime.

Dacă am, de exemplu, o felie de portocală și vreau să măsor perimetrul, pot face acest lucru cu ajutorul unei sfori.

Întindem o sforă în jurul feliei de portocală și măsurăm lungimea sforii.

Să zicem că am obținut o valoare de 15 cm.

Dacă aș măsura și diametrul acestei felii, aș obține 5 cm.

Acum să presupunem că avem o pizza și măsurăm cu ajutorul unei sfori conturul acesteia, sau mai bine zis, lungimea ei.

Obținem astfel o valoare aproximativă de 60 cm, iar dacă măsurăm diametrul acesteia, obținem 20 cm.

Dacă facem astfel raportul dintre lungimea feliei de portocală și diametrul ei, obținem o valoare aproximativă de 3 cm.

Dacă facem raportul dintre lungimea acestei pizza și diametrul ei, obținem o valoare aproximativă egală cu 3 cm.

Însă e posibil ca o altă persoană să repete aceste măsurători și să obțină pentru lungimea cercului, în cazul feliei de portocală, o valoare de aproximativ 15,5 cm.

Să zicem că diametrul rămâne la fel, 5 cm.

În acest caz, raportul dintre lungimea cercului și diametrul este aproximativ 3,1 cm.

Dacă vreau totuși să repet acest experiment pentru a avea o valoare exactă a raportului dintre lungimea cercului și diametrul,

obțin pentru lungimea cercului valoarea de 15,7 cm, iar diametrul rămâne la fel, 5 cm.

În acest caz, raportul dintre lungimea cercului și diametrul este aproximativ egal cu 3,14 cm.

Observ astfel că pentru a avea o valoare cât mai exactă a acestui raport, trebuie să fac mai multe măsurători,

deoarece coaja de portocală nu are o suprafață fină și de fiecare dată obțin doar o valoare aproximativă.

Cu mii de ani în urmă, oamenii au observat că indiferent de mărimea cercului, care până la urmă este dată de mărimea diametrului,

raportul dintre lungimea cercului sau circunferința cercului și diametrul acestuia rămâne neschimbat.

Dacă aș repeta măsurătorile și în cazul acestei pizza, cu siguranță aș obține aceleași valori de 3,1, 3,14, 3,14, 1,5 și așa mai departe.

Această constantă este una dintre cele mai importante constante matematice și ea poartă denumirea de pi.

Acest număr are o infinitate de decimale, din acest motiv el este un număr irrațional,

iar cel care a încercat pentru prima dată să găsească o valoare cât mai exactă pentru numărul pi a fost Arhimede.

El și-a dat seama că lungimea cercului poate fi limitată superior și inferior folosind poligoane regulate,

unul înscris în cerc, iar celălalt circumscris cercului.

Arhimede a calculat perimetrele acestor poligoane ajungând până la un poligon regulat cu 96 de laturi.

A obținut astfel că numărul pi este cuprins între aceste două valori.

Să vedem care sunt de fapt primele decimale exacte ale numărului pi.

pi este egal cu 3,1415926535 și așa mai departe.

După cum spuneam are o infinitate de decimale.

În calcule noi o să-l aproximăm cu valoarea de 3,14.

E suficient să rețineți doar primele două decimale ale acestui număr.

Am văzut astfel că valoarea raportului dintre lungimea unui cerc și lungimea diametrului său este constantă și se notează cu pi.

Astfel, indiferent de mărimea cercului, raportul dintre lungime și diametrul său va fi egal cu aproximativ 3,14.

Din această relație putem să exprimăm lungimea cercului.

Aceasta va fi egală cu pi ori diametrul.

Diametrul știm că este egal cu 2 ori raza cercului.

Și atunci din aceste două relații obținem că lungimea cercului este egală cu pi ori 2R.

Sau altfel scris, lungimea cercului este egală cu 2 pi R.

Aceasta este formula de calcul pentru lungimea unui cerc în funcție de raza cercului.

Trecem în continuare la lungimea unui arc de cerc.

Dacă avem un arc AB care are măsura egală cu n grade,

pentru a determina lungimea acestui arc o să folosim regula de 3 simplă.

Știm că un cerc întreg are 360 de grade și o lungime egală cu 2 pi R.

Atunci un arc având măsura egală cu n grade are o lungime notată cu x.

Din această relație x va fi egal cu n grade ori 2 pi R supra 360.

Se simplifică 2 cu 360 și obținem n grade pi R supra 180.

Astfel lungimea arcului AB va fi egală cu pi R n grade supra 180 de grade,

unde n reprezintă măsura arcului AB.

În continuare o să facem o problemă.

Să se afle lungimea unui cerc având raza egală cu 10 centimetri.

Dacă raza este 10 centimetri și lungimea cercului are formula 2 pi R,

înseamnă că lungimea cercului va fi egală cu 2 pi ori 10, adică 20 pi centimetri.

În cazul în care dorim să aproximăm lungimea cercului, putem să înlocuim numărul pi cu valoarea 3,14.