Latura, apotema și aria hexagonului (teorie)

În această lecție o să calculăm latura, apotema și area hexagonului regulat înscris în cerc în funcția de raza cercului.

ABCDEF este un hexagon regulat. Acesta are șase laturi și șase unghiuri congruente.

Segmentele OB și OC sunt raze ale cercului circumscris, iar OM este apotema.

Pornim de la aceste formule pe care le-am găsit într-o lecție anterioară când am discutat despre poligonul regulat cu N laturi.

În cazul hexagonului N este șase și atunci latura hexagonului L6 va fi egală cu 2R ori sinus de 180 grade supra șase,

egal cu 2R ori sinus de 30 grade, egal cu 2R ori 1 supra 2, se simplifică 2 și obținem R.

Prin urmare, latura hexagonului este egală cu raza cercului.

Area hexagonului este egală cu 6R la a doua, sinus de 180 grade supra șase ori cosinus de 180 grade supra șase,

egal cu 6R la a doua ori sinus de 30 grade este 1 supra 2, iar cosinus de 30 grade este radical din 3 pe 2.

Se simplifică șase cu 2 și obținem 3R la a doua radical din 3 supra 2.

Aceasta va fi formula R ei în funcție de raza cercului circumscris.

Dacă dorim să calculăm area în funcție de latura hexagonului, obținem formula 3L la a doua radical din 3 supra 2,

pentru că raza este egală cu latura.

Perimetrul hexagonului este șase ori L și egal cu șase ori raza cercului circumscris.

În cazul în care nu rețineți aceste formule de la care am pornit și șansele să se întâmple asta sunt destul de mari,

propun și o altă metodă de a calcula apotema, latura și area hexagonului în funcție de raza cercului circumscris.

Observăm că acest cerc este împărțit în șase arce congruente.

Măsura unui arc este egală cu 360 de grade împărțit la șase, pentru că un cerc întreg are 360 de grade.

Și atunci măsura arcului BC este egală cu 360 de grade împărțit la șase, egal cu 60 de grade.

Să calculăm măsura unghiului la centru BOC.

Măsura acestui unghi este egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale, adică măsura arcului BC, și egal cu 60 de grade.

Însă triunghiul BOC este un triunghi isoscel, pentru că are două laturi congruente.

Iar un triunghi isoscel cu un unghi având măsura egală cu 60 de grade este un triunghi echilateral.

Prin urmare, triunghiul BOC este echilateral.

Deci latura BC va fi egală cu raza cercului circumscris, adică latura este egală cu raza.

Am arătat, printr-o altă modalitate, că latura hexagonului este egală cu raza cercului circumscris.

Apotema este OM.

OM este înălțime în triunghiul echilateral BOC.

În lecția în care am determinat formulele de calcul pentru latura și apotema triunghiului echilateral,

am găsit și o formulă de calcul pentru înălțimea triunghiului în funcție de latura acestuia.

Astfel, înălțimea într-un triunghi echilateral este latura radical din trei sub a doi.

Această formulă se poate obține foarte simplu aplicând teorema lui Pitagora în triunghiul OMC.

Latura fiind egală cu raza, obținem astfel că apotema poligonului este raza radical din trei sub a doi.

Am găsit și formula de calcul pentru apotema hexagonului în funcție de raza cercului circumscris.

Mai trebuie să calculăm aria acestuia.

Observăm că acest hexagon este împărțit în șase triunghiuri echilaterale congruente

și atunci aria hexagonului va fi egală cu șase ori aria triunghiului BOC.

Egal cu șase ori aria triunghiului echilateral este latura la a doua radical din trei sub a patru.

Se simplifică șase și patru prin doi, ne rămâne trei și doi.

Egal cu trei R la a doua radical din trei sub a doi.

Dacă dorim să exprimăm aria în funcție de raza cercului, atunci aria hexagonului va fi egală cu trei R la a doua radical din trei sub a doi.

Am găsit și formula de calcul pentru aria hexagonului în funcție de raza cercului.