Poziţia unei drepte faţă de un cerc.

În această lecție o să vorbim despre poziții relative ale unei drepte față de un cerc.

Există trei cazuri posibile de poziționare a unei drepte față de un cerc în funcție de numărul de puncte de intersecție dintre dreaptă și cerc.

O primă situație, o dreaptă care nu are niciun punct comun cu un cerc se numește dreaptă exterioară cercului.

În această figură observăm că dreapta A, intersectată cu cercul de centru O și rază R, este mulțimea vidă pentru că dreapta A nu are niciun punct comun cu cercul.

O a doua posibilitate este cea în care o dreaptă are două puncte comune cu cercul, iar în acest caz se va numi dreaptă secantă față de cerc.

Observăm că dreapta B intersectează cercul în două puncte A și B, în acest caz vom spune că dreapta B se numește secantă.

Dreapta B intersectează cercul de centru O și rază R, în punctele A și B.

Și o a treia posibilitate, o dreaptă care are un singur punct comun cu un cerc se numește dreaptă tangentă la cerc.

Observăm că dreapta C intersectează cercul într-un singur punct, pe care l-am notat cu T, acest punct se mai numește punct de tangentă.

Dreapta C, intersectată cu cercul de centru O și rază R, este mulțimea formată din punctul T.

Acest punct T se mai numește punct de tangentă.

În continuare o să vedem o teoremă referitoare la tangenta dusă la un cerc.

Tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangentă.

Cu alte cuvinte, dacă dreapta D este o tangentă la cerc, iar OA este rază, atunci dreapta D este perpendiculară pe dreapta OA.

Vom demonstra această teoremă folosind metoda reducerii la absurd.

Presupunem că dreapta D nu este perpendiculară pe dreapta OA.

Înseamnă că putem să construim noi această perpendiculară dusă din punctul O pe dreapta D.

De exemplu, aceasta este perpendiculara din O pe dreapta D, pe care o să o notez cu OM.

Aici avem un unghi drept.

Și mai facem o construcție ajutătoare.

O să fixez un alt punct pe dreapta D, punctul N, astfel încât segmentul MN să aibă aceeași lungime cu segmentul AM.

Cu alte cuvinte, punctul N este simetricul punctului A față de M.

Și unim punctele O și N.

Dacă OA nu este perpendiculară pe D, înseamnă că putem să construim noi această perpendiculară, fie OM perpendiculară pe dreapta D.

Și am mai fixat un punct N pe dreapta D, astfel încât MN să fie egal cu AM.

Aici s-au format două triunghiuri dreptunghice, triunghiul AOM și triunghiul NOM.

Acestea sunt dreptunghice în punctul M și vom arăta că ele sunt congruente.

Observăm că OM este o catetă comună a celor două triunghiuri.

Și putem să scriem că OM este congruent cu OM, fiind o latură comună.

Și segmentele AM și NM sunt congruente din construcția pe care am făcut-o.

AM este congruent cu NM din construcție.

Observăm astfel că cele două triunghiuri au două catete respectiv congruente.

Și atunci va rezulta că ele sunt triunghiuri congruente conform cazului catetă-catetă.

Triunghiul AOM este congruent cu triunghiul NOM.

Dar congruența celor două triunghiuri implică și congruența ipotenuzelor acestora.

Astfel ON va fi congruentă cu OA.

Rezultă OA congruent cu ON.

Dar OA este o rază și atunci va rezulta implicit că și ON ar trebui să fie rază pentru că cele două segmente sunt congruente.

Dacă OA este egal cu ON și egal cu raza cercului, atunci înseamnă că punctul N ar trebui să fie situat pe cerc.

Pentru că raza s-a definit ca fiind segmentul care unește centrul cercului cu un punct situat pe cerc.

Prin urmare, punctul N ar trebui să aparțină atât dreptei D cât și cercului.

Din această relație rezultă că dreapta D ar intersecta cercul de centru O și rază R în două puncte, în A și în N.

Dar acest lucru este o contradicție cu faptul că dreapta D este tangentă la cerc, pentru că tangenta intersectează cercul într-un singur punct.

Am ajuns astfel la o contradicție și atunci presupunerea pe care am făcut-o nu este falsă.

Va rezulta că presupunerea făcută este falsă, iar în consecință va rezulta că tangenta este perpendiculară pe rază,

deci OA este perpendiculară pe dreapta D.

Rețineți această teoremă. Tangenta la un cerc este întotdeauna perpendiculară pe rază în punctul de tangență.

Continuăm cu o teoremă.

Dintr-un punct exterior unui cerc se pot duce două tangente la acest cerc.

Avem punctul M exterior cercului.

Prin punctul M putem să construim doar două tangente la cercul de centru O.

Acestea sunt MA și MB.

În continuare să facem o aplicație.

Demonstrați că tangentele duse dintr-un punct exterior la cerc sunt congruente.

Trebuie să arătăm că MA este congruentă cu MB.

Pentru aceasta o să unesc punctele O și M.

Observăm astfel că s-au format două triunghiuri dreptunghice.

Și vom demonstra că aceste două triunghiuri sunt congruente.

Având în vedere că sunt triunghiuri dreptunghice este suficient să găsim două elemente respectiv congruente în afară de unghiurile drepte.

Observăm că OA și OB sunt raze ale acestui cerc.

Deci ele vor fi segmente congruente.

OA este congruent cu OB pentru că sunt raze.

Cele două triunghiuri au o latură comună. Aceasta este OM.

OM este congruent cu OM fiind o latură comună.

OM este ipotenuză în fiecare dintre cele două triunghiuri.

Și atunci va rezulta că triunghiul AOM este congruent cu triunghiul BOM.

O form cazului de congruență ipotenuză-catetă.

Această relație de congruență dintre cele două triunghiuri implică și congruența segmentelor

AM și BM.

Rezultă că AM este congruent cu BM.

Am arătat astfel că tangentele duse dintr-un punct exterior la cerc sunt congruente.

Congruența acestor două triunghiuri implică congruența tuturor elementelor omoloage.

Astfel putem să remarcăm că unghiul BMO va fi congruent cu unghiul AMO

și unghiul BOM va fi congruent cu unghiul AOM.

Cu alte cuvinte putem să afirmăm că dreapta MO este bisectoarea unghiului AMB

și dreapta OM este bisectoarea unghiului AOB.

Și în continuare o să mai vedem o definiție.

Un triunghi se numește circumscris unui cerc dacă laturile sale sunt tangente la cerc.

Triunghiul ABC este circumscris cercului de centru O pentru că laturile sale sunt tangente la cerc.

Observăm că latura AB a triunghiului intersectează cercul în punctul P

deci punctul P este punctul de tangență

apoi latura BC intersectează cercul în punctul M

și latura AC intersectează cercul în punctul N.

Astfel dreptele OM, ON și OP vor fi raze în acest cerc

iar dreptele pe care le-am desenat punctat cu MOV vor fi bisectoarele unghiurilor AB și C.

Dacă ne uităm de exemplu la punctul C

din punctul C am dus tangentele CN și CM

și atunci dreapta CO va fi bisectoarea unghiului NCM

apoi la fel dreapta AO va fi bisectoarea unghiului PAN

și dreapta BO va fi bisectoarea unghiului PBM

În consecință centrul cercului înscris în triunghiul ABC

este chiar punctul de intersectie al bisectoarelor unghiurilor triunghiului

iar triunghiul ABC se numește triunghi circumscris cercului de centrul O