Patrulater înscris în cerc; patrulater inscriptibil

În această lecție o să vorbim despre patrulater înscris în cerc și patrulater inscriptibil.

Un patrulater se numește înscris într-un cerc dacă vârfurile sale aparțin cercului.

Observăm că patrulaterul ABCD are vârfurile situate pe același cerc, în acest caz patrulaterul se numește înscris în cerc.

Nu toate patrulaterele sunt înscrise în cerc, de exemplu patrulaterul MNPQ nu are vârfurile situate pe același cerc și în acest caz el nu este înscris în cerc.

O să vedem în continuare câteva proprietăți ale patrulaterelor înscrise într-un cerc.

Sub forma unor teoreme.

Prima teoremă.

Un patrulater înscris în cerc are unghiurile opuse suplementare.

Vom demonstra această teoremă.

Trebuie să arătăm că măsura unghiului ADC plus măsura unghiului ABC este egală cu 180 de grade.

Și analog se va demonstra că și celelalte unghiuri opuse, A și C, sunt suplementare.

Demonstrație.

Vom calcula măsura unghiului ADC plus măsura unghiului ABC.

Unghiul ADC este un unghi înscris în cerc, iar măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Astfel, măsura unghiului ADC va fi egală cu jumătate din măsura arcului ABC.

Egal cu măsura arcului ABC.

Supra 2 plus.

Măsura unghiului ABC va fi egală cu jumătate din măsura arcului cuprins între laturile acestui unghi, adică jumătate din măsura arcului ADC. Supra 2 plus.

Trebuie să adunăm două fracții cu același numitor.

Putem să adunăm numărătorii.

Observăm că măsura arcului ABC plus măsura arcului ADC va fi egală cu 360 de grade, pentru că ele formează un cerc.

Și atunci putem să scriem egal cu 360 de grade supra 2 și egal cu 180 de grade.

Am arătat astfel că unghiurile B și D sunt suplementare, pentru că suma măsurilor acestora este de 180 de grade.

În mod asemănător, se poate arăta că unghiurile A și C sunt suplementare.

Și o altă proprietate a patrulaterelor înscrise, teorema numărul 2,

dacă un patrulater este înscris în cerc, atunci diagonalele sale formează cu două laturi opuse unghiuri congruente.

Avem patrulaterul înscris ABCD.

Vom demonstra că unghiul BAC este congruent cu unghiul BDC.

În mod analog, se poate demonstra că și celelalte unghiuri formate de diagonale cu laturile opuse sunt congruente.

Demonstrație.

Vom calcula mai întâi măsura unghiului CDB.

Unghiul CDB este un unghi înscris în cerc,

așadar măsura acestui unghi va fi jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Este vorba de arcul BC,

egal cu măsura arcului BC supra 2.

Acum calculăm măsura unghiului BAC.

Demonstrație.

Și acesta este un unghi înscris în cerc,

iar măsura lui va fi jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Observăm că este vorba despre același arc BC,

egal cu măsura arcului BC supra 2.

Observăm astfel că măsurile celor două unghiuri sunt egale,

prin urmare unghiurile vor fi congruente.

Unghiul CDB va fi congruent cu unghiul BAC.

În mod analog se demonstrează și congruența celorlalte unghiuri,

determinate de diagonale cu laturile opuse.

În continuare o să dăm niște definiții.

4 puncte se numesc conciclice dacă există un cerc care să le conțină pe toate.

De exemplu, punctele MNPQ sunt puncte conciclice,

deoarece ele aparțin aceluiași cerc.

Un patrulater se numește inscriptibil dacă vârfurile sale sunt puncte conciclice.

Altfel spus, un patrulater este inscriptibil dacă poate fi înscris într-un cerc.

Și în continuare o să vedem câteva teoreme referitoare la patrulaterele inscriptibile.

Prima teoremă, un patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă unghiurile opuse sunt suplementare.

O a doua proprietate, un patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă

orice unghi format de o diagonală cu o latură

este congruent cu unghiul format de cealaltă diagonală cu latura opusă primeia.

Și un patrulater este inscriptibil dacă și numai dacă mediatoarele laturilor sale sunt concurente,

iar punctul lor de intersecție reprezintă centrul cercului.

Vă reamintesc că mediatoarea unui segment este perpendicular aridicată din mijlocul segmentului.

În patrulaterul ABCD am construit cu galben mediatoarele laturilor.

Observăm că acestea se intersectează în punctul O, care este, de fapt, centrul cercului.

Având la dispoziție aceste teoreme de caracterizare a patrulaterelor inscriptibile,

putem să tragem niște concluzii.

Pătratul și dreptunghiul sunt patrulatere inscriptibile,

însă rombul și paralelogramul nu sunt patrulatere inscriptibile.

În continuare o să facem o aplicație.

Vom rezolva următoarea problemă.

Pe un cerc se consideră punctele ABC și D, astfel încât măsura arcului AB este egală cu 140 de grade,

măsura arcului BC este egală cu 60 de grade și măsura arcului CD este egală cu 120 de grade.

Calculați măsurile arcelor AD, BCD, ADC, DAB și ABC,

măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD și măsurile unghiurilor formate de diagonale cu laturile patrulaterului.

Demonstrație.

Măsura arcului AB este egală cu 140 de grade, măsura arcului BC este 60 de grade, măsura arcului CD este 120 de grade.

Trebuie să calculăm mai întâi măsura arcului AD.

Știm că un cerc are 360 de grade.

Pentru a calcula măsura arcului AD, din cele 360 de grade, o să scădem măsurile arcelor AB, BC și CD.

Punctul A.

Măsura arcului AD este egală cu 360 de grade, minus măsura arcului AB plus măsura arcului BC plus măsura arcului DC.

Egal cu 360 de grade minus 140 de grade plus 60 de grade plus 120 de grade.

Egal 140 plus 60 este 200 plus 120 este 320.

Iar 360 minus 320 este egal cu 40 de grade.

Măsura arcului AD este egală cu 40 de grade.

Acum trebuie să calculăm măsura arcului BCD.

Aceasta se obține adunând măsurile arcelor BC și CD.

Măsura arcului BCD este egală cu măsura arcului BC plus măsura arcului CD.

Egal cu 60 de grade plus 120 de grade.

Egal 180 de grade.

Măsura arcului ADC este formată din măsura arcului AD plus măsura arcului DC.

Egal cu 40 de grade plus 120 de grade.

Egal cu 160 de grade.

Continuăm cu măsura arcului DAB.

Aceasta este egală cu măsura arcului DA plus măsura arcului AB.

Măsura arcului DAB este egală cu măsura arcului DA plus măsura arcului AB.

Egal cu 40 de grade plus 140 de grade.

Egal cu 180 de grade.

Și mai trebuie să calculăm măsura arcului ABC.

Aceasta este egală cu măsura arcului AB plus măsura arcului BC.

Egal cu 140 de grade plus 60 de grade.

Egal cu 200 de grade.

Continuăm cu punctul B.

Trebuie să calculăm măsurile unghiurilor patrulaterului ABCD.

Să începem de exemplu cu măsura unghiului A.

Unghiul A este un unghi înscris în cerc.

Iar măsura unghiului A este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Putem să scriem că măsura unghiului A este egală cu măsura arcului BCD supra 2.

Am calculat deja măsura arcului BCD. Aceasta este 180 de grade.

180 de grade supra 2 egal cu 90 de grade.

Având în vedere că ABCD este un patrulater înscris în cerc, înseamnă că unghiurile opuse sunt suplementare.

Și atunci putem calcula măsura unghiului C scăzând din 180 de grade măsura unghiului A.

Sau putem calcula măsura unghiului C făcând referire la măsura arcului cuprins între laturile sale.

Oricare dintre cele două variante este corectă.

O să folosesc proprietatea patrulaterelor înscrise care ne spune că unghiurile opuse sunt suplementare.

Astfel măsura unghiului C va fi egală cu 180 de grade minus măsura unghiului A.

Egal cu 180 de grade minus 90 și egal cu 90 de grade.

Pentru că ABCD este un patrulater înscris în cerc.

Mai trebuie să calculăm măsurile unghiurilor B și D.

Calculăm măsura unghiului B.

Aceasta va fi egală cu jumătate din măsura arcului ADC.

Egal cu măsura arcului ADC supra 2.

Am calculat deja măsura arcului ADC. Aceasta este 160 de grade.

Iar 160 supra 2 este egal cu 80.

Astfel măsura unghiului B este egală cu 80 de grade.

Pentru a calcula măsura unghiului D, folosim faptul că unghiurile B și D sunt unghiuri opuse suplementare.

Măsura unghiului D este egală cu 180 de grade minus măsura unghiului B.

Egal cu 180 de grade minus 80 de grade și egal cu 100 de grade.

Am calculat cele patru măsuri ale unghiurilor patrulaterului ABCD.

În continuare trebuie să calculăm la punctul C unghiurile formate de diagonale cu laturile patrulaterului.

Ducem și diagonalele AC și BD.

O să șterg cele scrise până acum ca să am spațiu pentru rezolvarea punctului C.

O să calculăm mai întâi măsura unghiului BAC.

Acesta este un unghi înscris în cerc, iar măsura sa este egală cu jumătate din măsura arcului BC.

Măsura unghiului BAC este egală cu măsura arcului BC supra 2, egal cu 60 de grade supra 2 și egal cu 30 de grade.

Unghiul BAC este congruent cu unghiul BDC.

Am văzut această proprietate în teorema numărul 2, pentru că cele două unghiuri cuprind între laturile lor același arc BC.

Și atunci putem să scriem că măsura unghiului BDC este egală cu măsura unghiului BAC și egală cu 30 de grade, conform teoremei numărul 2.

Calculăm în continuare măsura unghiului DAC.

Aceasta va fi egală cu măsura unghiului DBC, pentru că cele două unghiuri cuprind între laturile lor același arc DC.

Măsura unghiului DAC este egală cu măsura unghiului DBC și egală cu jumătate din măsura arcului DC, egal cu 120 de grade supra 2 și egal cu 60.

Vom continua cu măsura unghiului ABD.

Aceasta va fi egală cu măsura unghiului ACD, pentru că cele două unghiuri cuprind între laturile lor același arc AD.

Măsura unghiului ABD este egală cu măsura unghiului ACD și egală cu jumătate din măsura arcului AD, egal cu 40 de grade supra 2 și egal cu 20 de grade.

Au mai rămas unghiurile ACB și ADB, care vor fi și acestea congruente.

Măsura unghiului ACB va fi egală cu măsura unghiului ADB și egală cu jumătate din măsura arcului AB.

Arcul AB are 140 de grade, 140 împărțit la 2 este egal cu 70 de grade.

Am aflat astfel măsurile unghiurilor determinate de diagonale cu laturile patrulaterului ABCD.