Patrulater inscriptibil (aplicații)
53 vizualizări · 2 voturi
Raportează o problemă
Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.
Mulțumim!
Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.
Un patrulater este înscris în cerc, dacă vârfurile sale aparțin cercului.
Un patrulater înscris în cerc are unghiurile opuse suplementare:
Dacă un patrulater este înscris în cerc, atunci diagonalele sale formează cu două laturi opuse unghiuri congruente.
Un patrulater este inscriptibil dacă acesta poate fi înscris intr-un cerc (dacă există un cerc care să conțină toate vârfurile sale).
Un patrulater este inscriptibil dacă este îndeplinită una din condițiile:
- are unghiurile opuse suplementare
- diagonalele sale formează cu două laturi opuse unghiuri congruente.
Rezolvăm în continuare următoarea problemă. Fie MNP un triunghi, A este mijlocul laturii NP, B este mijlocul laturii MP,
MC este perpendiculară pe NP, PD este perpendiculară pe MN și am notat cu H punctul de intersecție dintre dreptele MC și PD.
Cu alte cuvinte, punctul H este ortocentrul triunghiului, deoarece MC și PD sunt înălțimi.
Fie E mijlocul segmentului MH.
Demonstrați că patrulaterul ABEC este inscriptibil.
Pentru a demonstra că acest patrulater este inscriptibil, vom demonstra că acesta are două unghiuri opuse suplementare.
Mai exact o să arătăm că unghiurile EBA și ECA sunt suplementare.
Având în vedere că măsura unghiului C este de 90 de grade, mai trebuie doar să arătăm că măsura unghiului ABE este de 90 de grade.
Dacă A și B sunt mijloacele laturilor NP și MP, înseamnă că AB este linie mijlocie în triunghiul MNP și atunci AB este paralelă cu MN.
Să scriem acest lucru.
A este mijlocul segmentului NP.
B este mijlocul segmentului MP.
Și atunci AB va fi linie mijlocie în triunghiul MNP.
Prin urmare, AB va fi paralelă cu MN.
Dacă E este mijlocul segmentului MH, iar B este mijlocul lui MP, înseamnă că EB este linie mijlocie în triunghiul MHP.
E este mijlocul segmentului MH.
B este mijlocul segmentului MP.
Și atunci EB va fi linie mijlocie în triunghiul MHP.
Rezulta că EB este paralelă cu HP.
Dar observăm că MN este perpendiculară pe dreapta HP, având în vedere că PD era înălțime.
Dacă MN este perpendiculară pe HP, iar AB este paralelă cu MN și EB este paralelă cu HP,
atunci va rezulta că aceste două drepte, AB și EB, sunt la rândul lor perpendiculare.
MN este perpendiculară pe HP, pentru că dreapta PD este înălțime.
Și atunci, din aceste trei relații, pe care să le notesc cu 1, 2 și 3,
din relațiile 1, 2 și 3, va rezulta că AB este perpendiculară pe EB.
Dacă aceste două drepte sunt perpendiculare, înseamnă că aici avem un ung drept.
Așadar, măsura unghiului ABE este egală cu 90 grade.
Dar știm din ipoteză că și măsura unghiului ECA este egală cu 90 grade,
pentru că MC era perpendiculară pe NP.
Și atunci, din aceste două relații, rezultă că aceste două unghiuri sunt suplementare,
pentru că măsura unghiului ABE plus măsura unghiului ECA este egală cu 180 grade.
Prin urmare, patrulaterul A, B, E, C este inscriptibil.
Cu alte cuvinte, punctele A, B, E și C sunt puncte conciclice,
deoarece există un cerc care se treacă prin aceste patru puncte.
Anterior
Patrulater înscris în cerc; patrulater inscriptibil
Continuă cu testul
Test de evaluare pentru patrulater înscris în cerc; patrulater inscriptibil
Comentarii (0)
Niciun comentariu încă.
