Poligoane regulate

În această lecție o să vorbim despre poligoane regulate și o să găsim o formulă de calcul pentru latura, apotema și area unui poligon regulat în funcție de raza cercului circunscris acestuia.

Începem cu o definiție. O linie fărântă închisă se numește poligon. Există două tipuri de poligoane, convexe și concave.

Poligonul convex are proprietatea că oricum aș uni două puncte ale acestuia, segmentul astfel obținut este conținut în întregime, în interiorul poligonului.

În schimb, poligonul concav nu are această proprietate. Dacă unezi de exemplu aceste două puncte, observăm că segmentul determinat este situat în afara poligonului.

Un astfel de poligon se numește poligon concav. În continuare o să discutăm doar despre poligoanele convexe.

Urmează o altă definiție. Un poligon convex este regulat dacă are toate laturile și toate unghiurile congruente.

Avem aici câteva exemple de poligoane regulate. Triunghiul echilateral, pătratul, pentagonul, acesta este un poligon cu 5 laturi, hexagonul este un poligon cu 6 laturi, iar decagonul este un poligon cu 10 laturi.

În continuare o să vedem câteva proprietăți ale poligoanelor regulate.

Orice poligon regulat se poate înscrie într-un cerc, iar centrul cercului circumscris unui poligon regulat se mai numește centrul poligonului.

Distanța de la centrul poligonului la o latură se numește apotemă. În prima figură avem un triunghi echilateral ABC, O este centrul triunghiului, perpendicularea din O pe latura BC se numește apotemă.

Având în vedere că un triunghi are 3 laturi, putem să ducem 3 apoteme. De reținut, faptul că punctul M este situat la mijlocul laturii BC pentru că triunghiul BOC este isoscel.

Segmentele desenate punctat sunt raze BO, AO și CO și ele sunt congruente, așadar triunghiul BOC va fi un triunghi isoscel, iar înălțimea într-un triunghi isoscel este și mediană.

Din acest motiv, punctul M va fi situat la mijlocul laturii triunghiului.

În a doua figură avem un pătrat înscris într-un cerc. Distanța de la centrul pătratului la o latură a sa este apotema pătratului, în acest caz OM. Putem să ducem 4 apoteme, toate acestea vor fi congruente.

Și în ultima figură avem un hexagon. Hexagonul este un poligon cu 6 laturi. Înseamnă că într-un hexagon putem să ducem 6 apoteme, toate vor fi congruente.

Și în acest caz punctul M este situat la mijlocul laturii hexagonului, deoarece triunghiul COD este un triunghi isoscel. Segmentele desenate punctat sunt raze și ele sunt congruente.

În continuare discutăm despre poligoane regulate în cazul general în care avem N laturi.

Pentru a obține un poligon regulat cu N laturi procedăm în felul următor. Împărțim un cerc în N arce congruente, unim punctele de diviziune și obținem laturile poligonului care vor fi coarde ale cercului.

Laturile poligonului sunt congruente pentru că subîntind arce de aceeași măsură. Unghiurile poligonului vor fi și acestea congruente pentru că ele cuprind între laturile lor arce de măsuri egale.

În continuare ne propunem să determinăm o formulă generală de calcul pentru măsura unui unghi al unui poligon și pentru măsura unghiului la centru.

Având în vedere că sunt N arce înseamnă că măsura unui arc A1-A2 va fi egală cu 360 de grade supra N pentru că un cerc întreg are 360 de grade.

Atunci măsura unghiului la centru A1-O-A2 va fi egală cu 360 de grade supra N pentru că unghiul la centru are măsura egală cu măsura arcului cuprins între laturile sale.

Așadar măsura unghiului A1-O-A2 va fi egală cu 360 de grade supra N.

Să calculăm în continuare măsura unui unghi al poligonului, de exemplu unghiul A1-A2-A3.

Acesta este un poligon cu N vârfuri și N laturi, deci avem N arce de măsuri egale.

Măsura unui unghi situat pe cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Dar arcul cuprins între laturile acestui unghi este arcul mare A1-AN-A3.

Având în vedere că aici avem deja două arce, A1-A2, respectiv A2-A3, înseamnă că arcul mare A1-AN-A3 conține N-2 arce.

Și atunci măsura acestui arc mare A1-AN-A3 va fi egală cu N-2 ori măsura unui arc, adică 360 de grade supra N.

Măsura unui unghi înscris în cerc este jumătate din măsura arcului cuprins între laturile sale.

Astfel măsura unghiului A1-A2-A3 va fi egală cu 1 pe 2 ori măsura arcului mare A1-AN-A3 și egal cu 1 supra 2 pe lângă N-2 ori 360 de grade supra N.

Se simplifică 2 cu 360 și obținem N-2 ori 180 de grade supra N.

Aceasta va fi formula de calcul pentru măsura unui unghi al unui poligon cu N laturi.

Dacă dorim să calculăm suma măsurilor unghiurilor unui astfel de poligon, o să înmulțim măsura unui unghi cu N pentru că în total avem N unghiuri.

În total sunt N unghiuri și atunci suma măsurilor acestora pe care o să o notez cu S va fi egală cu N ori N-2 ori 180 de grade supra N.

Se simplifică N cu N și obținem N-2 ori 180 de grade.

În concluzie putem să enunțăm aceste proprietăți.

Măsura unui unghi al unui poligon regulat cu N laturi este N-2 ori 180 de grade supra N.

Suma măsurilor unghiurilor unui poligon cu N laturi este N-2 ori 180 de grade și unghiul la centru corespunzător fiecarei laturi are măsura de 360 de grade supra N.

Astfel, dacă ne propunem să calculăm, de exemplu, măsura unui unghi al unui octogon, octogonul fiind un poligon cu 8 laturi,

înlocuim în această formulă pe N cu numărul 8 și obținem măsura unui unghi al octogonului.

În continuare o să calculăm latura, apotema și area unui poligon cu N laturi înscris în cerc în funcție de raza cercului circunscris poligonului.

Presupunem că avem aici un poligon cu N vârfuri și N laturi.

Am notat primele 4 vârfuri cu A, B, C și D.

Am dus apotema OM perpendiculară pe AB.

Segmentele punctate OA, OB, OC și OD sunt raze.

Pentru început o să deducem o formulă de calcul pentru latura acestui poligon în funcție de raza cercului circunscris.

Îi remarcăm faptul că triunghiul AOB este un triunghi isoscel pentru că are două laturi congruente, OA și OB.

OM este înălțime în acest triunghi isoscel, prin urmare OM va fi mediană și bisectoare.

Să scriem aceste lucruri.

Triunghiul AOB este isoscel, iar OM este perpendiculară pe AB.

Prin urmare OM este și mediană, adică AM va fi egal cu MB.

Cu alte cuvinte, punctul M este mijlocul laturii AB și OM va fi și bisectoare a unghiului AOB.

Asta înseamnă că OM împarte unghiul AOB în două unghiuri congruente, AOM și MOB.

Așadar, măsura unghiului AOM va fi egală cu măsura unghiului BOM și egală cu jumătate din măsura unghiului AOB.

Am văzut mai devreme că măsura unghiului la centru este 360 de grade supra N.

Deci, egal mai departe cu jumătate, 1 pe 2 ori măsura unghiului AOB și egal cu 1 pe 2 ori 360 de grade supra N.

Se simplifică 2 cu 360 și obținem 180 de grade supra N.

Aceasta este măsura unghiului BOM.

În triunghiul dreptunghic BOM o să aplicăm o funcție trigonometrică pentru a determina lungimea laturii MD.

Pentru că ne interesează o relație între latura poligonului și rază, o să aplicăm funcția trigonometrică sinus.

Aceasta se definește ca raportul dintre cateta opusă, unghiului ascuțit și ipotenuză.

În triunghiul dreptunghic MOB, sinusul unghiului BOM este cateta opusă unghiului BOM, adică MB, supra ipotenuza OB.

Rezultă că sinus de 180 de grade supra N este egal cu MB, supra raza cercului, OB este rază.

Din această relație exprimăm lungimea segmentului MB. Aceasta este egală cu raza ori sinus de 180 de grade supra N.

Pe noi ne interesează AB, latura poligonului. Aceasta se obține dublând lungimea laturii MB, pentru că M este mijlocul lui AB.

Prin urmare, latura poligonului, adică AB, va fi egală cu 2 ori R ori sinus de 180 de grade supra N.

Aceasta este formula de calcul pentru latura unui poligon cu N laturi, în funcție de raza cercului circumscris acestuia.

În continuare, o să determinăm o formulă de calcul pentru apotema poligonului, în funcție de rază.

Pentru aceasta o să aplicăm o altă funcție trigonometrică și anume funcția trigonometrică cosinus.

Între unghiul dreptunghic MOB, cosinusul unghiului BOM este raportul dintre cateta alăturată supraipotenuză.

Cateta alăturată este OM, iar ipotenuza este OB.

Obținem astfel cosinus de 180 de grade supra N, egal cu OM, care este apotema poligonului, supra OB, care este rază.

Din această relație exprimăm apotema. Aceasta este egală cu R, ori cosinus de 180 de grade supra N.

Am obținut și formula de calcul pentru apotema poligonului, în funcție de raza cercului circumscris.

În continuare, o să determinăm și formula de calcul pentru area acestui poligon.

Dacă poligonul are N laturi și unim punctul O cu fiecare vârf al poligonului, obținem N triunghiuri.

Triunghiul AOB este unul din aceste triunghiuri și atunci area poligonului se obține însumând arile celor N triunghiuri.

Deci area poligonului va fi egală cu N, ori area triunghiului AOB.

Triunghiul AOB are baza AB și înălțimea OM.

Și atunci vom exprima area acestui triunghi ca fiind semiprodusul dintre apotema poligonului și latura poligonului.

Area poligonului este N, ori area triunghiului AOB, egal cu N, ori area triunghiului AOB este baza, ori înălțimea, supra 2, AB, ori OM, supra 2, egal.

Putem să scriem N, supra 2, ori AB este latura poligonului, iar OM este apotema poligonului, egal cu N, supra 2.

În loc de L, o să scriem formula pe care am determinat-o, 2R, sinus de 180 grade, supra N, ori, în loc de apotema, scriem formula R, ori cosinus de 180 grade, supra N, egal.

2 și 2 se simplifică și obținem N, ori R la a doua, ori sinus de 180 grade, supra N, ori cosinus de 180 grade, supra N.

Aceasta este formula de calcul pentru area unui poligon cu N laturi, în funcție de raza cercului circumscris acestuia.

Spuneți-mi puțin aceste formule pe care le-am determinat.

LN, adică latura unui poligon cu N laturi, este 2R, sinus de 180 grade, supra N, apotema poligonului este raza, ori cosinus de 180 grade, supra N, și area poligonului este N, ori R la a doua, ori sinus de 180 grade, supra N, ori cosinus de 180 grade, supra N.

În aceste formule, R este raza cercului circumscris poligonului, iar N este numărul de laturi ale poligonului.