Un patrulater este un poligon cu 4 laturi.

Patrulaterul convex  are proprietatea că orice segment care unește două puncte ale sale este situat în interiorul patrulaterului. Un patrulater care nu este convex se numește concav.

Perimetrul unui patrulater este suma lungimilor laturilor.

$P_{ABCD}=AB+BC+CD+DA$

Proprietatea patrulaterelor convexe. Suma măsurilor unghiurilor unui patrulater convex este de 360°.

$m\left(\measuredangle A\right)+m\left(\measuredangle B\right)+m\left(\measuredangle C\right)+m\left(\measuredangle D\right)=360°.$

Paralelogramul este patrulaterul cu laturile opuse paralele.

                             $$\begin{gathered} AB\parallel CD \\ BC\parallel AD \end{gathered}$$

Proprietățile paralelogramului

1. Laturile opuse sunt congruente:

$\left[AB\right]\equiv \left[CD\right], \left[BC\right]\equiv \left[AD\right]$

2. Unghiurile opuse sunt congruente:

$\measuredangle A\equiv \measuredangle C, \measuredangle B\equiv \measuredangle D$

3. Unghiurile alăturate sunt suplementare:

$$\begin{gathered} m(\measuredangle A)+m(\measuredangle B)=180° \\ m(\measuredangle B)+m(\measuredangle C)=180° \end{gathered}$$

4. Diagonalele se înjumătățesc:

$\left[AO\right]\equiv \left[OC\right], \left[BO\right]\equiv \left[OD\right]$

Un patrulater este paralelogram dacă și numai dacă îndeplinește una din aceste condiții:

• are laturile opuse congruente două câte două
• are două laturi opuse paralele și congruente
• are unghiurile opuse congruente
• oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare
• diagonalele sale se înjumătățesc.

Concluzie. Pentru a demonstra că un patrulater este paralelogram, fie arătăm că acesta are laturile opuse paralele, fie că este îndeplinită una din condițiile menționate mai sus.

Proprietățile paralelogramului

1. Laturile opuse sunt congruente:

$\left[AB\right]\equiv \left[CD\right], \left[BC\right]\equiv \left[AD\right]$

2. Unghiurile opuse sunt congruente:

$\measuredangle A\equiv \measuredangle C, \measuredangle B\equiv \measuredangle D$

3. Unghiurile alăturate sunt suplementare:

$$\begin{gathered} m(\measuredangle A)+m(\measuredangle B)=180° \\ m(\measuredangle B)+m(\measuredangle C)=180° \end{gathered}$$

4. Diagonalele se înjumătățesc:

$\left[AO\right]\equiv \left[OC\right], \left[BO\right]\equiv \left[OD\right].$

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept.

Proprietățile dreptunghiului (ce rezultă din proprietățile paralelogramului și din definiție):

• are laturile opuse paralele două câte două
• are laturile opuse congruente două câte două
• are toate unghiurile congruente, având măsura de 90°
• diagonalele se înjumătățesc.

Un paralelogram este dreptunghi dacă și numai dacă diagonalele sale sunt congruente.

Concluzie. Pentru a demonstra că un patrulater este dreptunghi, arătăm că acesta este paralelogram cu un unghi drept, sau paralelogram cu diagonalele congruente.

Perimetrul dreptunghiului

$\boxed{ P_{▭}=2L+2l }$

• laturile opuse sunt paralele și congruente;
• diagonalele sunt congruente;
• unghiurile sunt congruente și au măsura de 90°;
• latura mai mare se numește lungime (L), iar cea mai mică, lățime (l);
• aria este egală cu produsul dintre lungime și lățime: A = L ⋅ l ;
• aria este de patru ori mai mare decât aria triunghiului format de o latură și cele două jumătăți de diagonale care pornesc din capetele laturii, sau de două ori mai mare decât aria triunghiului format de două laturi alăturate și diagonala opusă acestora;
• perimetrul dreptunghiului este egal cu dublul sumei dintre lungime și lățime: P = 2 ⋅ ( L + l );
• pătratul reprezintă un caz particular de dreptunghi, în care lungimea și lățimea sunt egale.

Rombul este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente.

Proprietățile rombului (ce rezultă din proprietățile paralelogramului și din definiție):

• are laturile opuse paralele 
• are toate laturile congruente
• are unghiurile opuse congruente
• oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare
• diagonalele sale se înjumătățesc.

Un paralelogram este romb dacă și numai dacă diagonalele sale sunt perpendiculare.

Un paralelogram este romb dacă și numai dacă diagonalele sale sunt bisectoarele unghiurilor.

Concluzie. Pentru a demonstra că un patrulater este romb, arătăm că acesta este paralelogram cu două laturi consecutive congruente, sau paralelogram cu diagonalele perpendiculare, sau paralelogram în care una din diagonale este și bisectoare.

Perimetrul rombului

$\boxed{ P=4l }$

Rombul este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente.

Proprietățile rombului (ce rezultă din proprietățile paralelogramului și din definiție):

• are laturile opuse paralele 
• are toate laturile congruente
• are unghiurile opuse congruente
• oricare două unghiuri alăturate sunt suplementare
• diagonalele sale se înjumătățesc.

Un paralelogram este romb dacă și numai dacă diagonalele sale sunt perpendiculare.

Un paralelogram este romb dacă și numai dacă diagonalele sale sunt bisectoarele unghiurilor.

Perimetrul rombului

$\boxed{ P=4l }$

Patrulaterul care este dreptunghi și romb, se numește pătrat.

Sunt valabile și următoarele definiții ale pătratului:

Pătratul este dreptunghiul cu două laturi consecutive congruente.

Pătratul este rombul cu un unghi drept.

Proprietățile pătratului (ce rezultă din proprietățile dreptunghiului și ale rombului):

• laturile opuse sunt paralele
• toate laturile sunt congruente
• toate unghiurile sunt congruente, având măsura de 90°
• diagonalele sunt congruente
• diagonalele se injumătățesc
• diagonalele sunt perpendiculare
• diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor.

Concluzie. Pentru a demonstra că un patrulater este pătrat, arătăm că este paralelogram cu două laturi consecutive congruente și un unghi drept. Sau, arătăm ca este paralelogram cu diagonalele congruente și perpendiculare.

Perimetrul pătratului

$\boxed{ P_{\square }=4l }$

Trapezul este un patrulater care are două laturi paralele și două neparalele.

Laturile paralele se numesc bazele trapezului. În figura de mai sus, [AD] este baza mică, iar [BC] este baza mare.

Proprietate. Într-un trapez, unghiurile situate de o parte și de alta a laturilor neparalele sunt suplementare.

$$\begin{gathered} m(\measuredangle A)+m(\measuredangle B)=180° \\ m(\measuredangle C)+m(\measuredangle D)=180° \end{gathered}$$

Clasificare:

• trapezul oarecare- are laturile de lungimi diferite
• trapezul dreptunghic- are una din laturile neparalele perpendicură pe baze
• trapezul isoscel- are laturile neparalele congruente.

Proprietățile trapezului isoscel

1. Unghiurile alăturate unei baze sunt congruente.

$$\begin{gathered} \measuredangle Q\equiv \measuredangle R \\ \measuredangle P\equiv \measuredangle S \end{gathered}$$

2. Diagonalele sunt congruente.

$\left[PR\right]\equiv \left[QS\right]$

Concluzie. Pentru a demonstra că un trapez este isoscel, arătăm că are laturile neparalele congruente, sau unghiurile de la bază congruente, sau diagonalele congruente.

 În orice trapez, unghiurile situate de o parte și de alta a laturilor neparalele sunt suplementare.

Proprietățile trapezului isoscel

1. Unghiurile alăturate unei baze sunt congruente.

$$\begin{gathered} \measuredangle Q\equiv \measuredangle R \\ \measuredangle P\equiv \measuredangle S \end{gathered}$$

2. Diagonalele sunt congruente.

$\left[PR\right]\equiv \left[QS\right].$

Simetricul unui punct A față de punctul O este punctul B, cu proprietatea că O este mijlocul segmentului [AB].

Un punct O este centru de simetrie al unei figuri geometrice F, dacă orice punct din F are simetric față de O un punct din F.

Exemple:

• centrul de simetrie al unui segment este mijlocul său
• centrul de simetrie al unui paralelogram este punctul de intersecție a diagonalelor.

Simetricul unui punct A față de o dreaptă d este punctul B, cu proprietatea că d este mediatoarea segmentului [AB]. Spunem că punctele A și B sunt simetrice față de dreapta d (numită axă de simetrie).

O dreaptă d este axă de simetrie pentro o figură F, dacă simetricul oricărui punct al figurii F, față de dreapta d, aparține de asemenea figurii F.

Proprietăți de simetrie ale patrulaterelor

1. Paralelogramul:

• nu are axe de simetrie
• centrul de simetrie este punctul O, intersecția diagonalelor.

2. Dreptunghiul:

• are două axe de simetrie, acestea sunt mediatoarele laturilor
• centrul de simetrie este punctul O, intersecția diagonalelor.

3. Rombul:

• are două axe de simetrie, acestea sunt diagonalele
• centrul de simetrie este punctul O, intersecția diagonalelor.

4. Pătratul:

• are patru axe de simetrie: diagonalele și mediatoarele laturilor
• centrul de simetrie este punctul O, intersecția diagonalelor.

5. Trapezul isoscel:

• are o axă de simetrie, mediatoarea bazelor
• nu are centru de simetrie.