Rombul- aplicații

În continuare o să facem două probleme în care o să aplicăm proprietățile rombului.

O primă problemă, rombul MNPQ are perimetrul de 72 centimetri și măsura unghiului NPM egală cu 30 de grade.

Calculați lungimea diagonalei NQ.

Pornim de la formula de calcul a perimetrului unui romb.

Perimetrul lui MNPQ este egal cu 4 ori lungimea unei laturi.

Notăm latura rombului cu L.

Și se știe că acest perimetru este egal cu 72 centimetri.

De aici putem să calculăm lungimea laturii.

Aceasta este egală cu 72 împărțiri la 4.

Și acum latura rombului va fi egală cu 18 centimetri.

Noi trebuie să calculăm lungimea diagonalei NQ.

Știm că într-un romb diagonalele sunt și bisectoarele unghiurilor.

Cu alte cuvinte, MP este bisectoarea unghiului NPQ.

Înseamnă că aceste două unghiuri sunt congruente.

Prin urmare, măsura unghiului MPQ va fi egală cu 30 de grade.

Triunghiul NPQ este un triunghi isoscel.

Dar în acest triunghi isoscel avem un unghi cu măsura de 60 de grade.

Este vorba de unghiul P.

Iar un triunghi isoscel care are un unghi cu măsura de 60 de grade este un triunghi echilateral.

Astfel, triunghiul NPQ va fi un triunghi echilateral.

Iar lungimea diagonalei NQ va fi egală cu lungimea laturii rombului NP.

Să scriem cele discutate până acum.

Dacă MNPQ este romb, înseamnă că diagonala MP este și bisectoarea unghiului NPQ.

Dar se știe din ipoteze că măsura unghiului NPM este egală cu 30 de grade.

Prin urmare, măsura unghiului MPQ va fi egală cu 30 de grade.

Unghiurile acestea sunt congruente.

Înseamnă că măsura unghiului NPQ este egală cu 60 de grade.

Triunghiul NPQ este un triunghi isoscel.

Pentru că laturile rombului sunt congruente, așadar NP este congruent cu PQ.

Dar un triunghi isoscel care are un unghi cu măsura de 60 de grade este echilateral.

Deci triunghiul NPQ este echilateral.

Și astfel va rezulta că NQ are aceeași lungime cu NP și cu PQ și egal cu 18 centimetri.

Trecem la următoarea problemă.

În figura de mai jos este reprezentat rombul star, iar P și Q sunt mijloacele laturilor ST și TA.

Arătați că triunghiul RPQ este isoscel, iar la punctul B, dacă SP este egal cu 2,3 centimetri, calculați perimetrul rombului.

Demonstrație. Începem cu punctul A.

Ca să arătăm că triunghiul RPQ este isoscel, trebuie să arătăm că acesta are două laturi congruente.

Vom arăta că RP este congruent cu RQ.

Pentru aceasta căutăm să încadrăm cele două laturi în două triunghiuri a caror congruență poate fi demonstrată.

O să unim punctele T și R și astfel se formează două triunghiuri, triunghiul PTR și TQR.

O să arătăm că aceste două triunghiuri sunt congruente.

Dacă STAR este romb, înseamnă că ST are aceeași lungime cu TA.

Însă P și Q sunt mijloacele laturilor rombului.

Prin urmare, segmentul PT va fi congruent cu segmentul TQ.

Lungimile acestor segmente sunt egale, ele fiind jumătăți ale unor segmente congruente.

Dacă STAR este romb, înseamnă că ST este egal cu TA.

Dacă P și Q sunt mijloacele laturilor, înseamnă că și aceste segmente PT și TQ sau QT au aceeași lungime.

Mai știm că diagonala TR este și bisectoare a unghiului T.

Astfel, unghiul STR este congruent cu unghiul QTR.

Să scriem acest lucru.

TR este bisectoarea unghiului T și astfel rezultă că unghiul PTR este congruent cu unghiul QTR.

Mai știm că aceste două triunghiuri au o latură comună. Aceasta este latura TR.

Haideți să scriem mai jos elementele congruente.

Am arătat așadar că PT este congruent cu segmentul QT.

Apoi am arătat că unghiul PTR este congruent cu unghiul QTR.

Segmentul TR este congruent cu segmentul TR fiind o latură comună.

Din cele trei relații va rezulta, conform cazului de congruență latură-unghi-latură, că triunghiul PTR este congruent cu triunghiul QTR.

Congruența acestor triunghiuri implică congruența segmentelor PR și QR.

Am arătat astfel că triunghiul PQR este un triunghi isoscel pentru că are două laturi congruente.

PR este congruentă cu latura QR.

Am terminat cu punctul A. Continuăm cu punctul B.

Dacă SP este egal cu 2,3 centimetri, calculați perimetrul rombului.

Având în vedere că punctul P este situat la mijlocul laturii ST, înseamnă că lungimea acestei laturi ST va fi de două ori mai mare decât lungimea segmentului SP.

Știm că SP este egal cu PT și egal cu 2,3 centimetri din ipoteză.

Prin urmare, ST este egal cu 2 ori 2,3 și egal cu 4,6 centimetri.

Deci, latura rombului este 4,6 centimetri.

Perimetrul acestui romb, star, este 4 ori lungimea unei laturi, egal cu 4 ori 4,6.

6 ori 4,24, 2 reținem, 4 ori 4,16 și cu 2,18.

18,4 centimetri.