Rombul

În această lecție o să vorbesc despre rom și proprietățile acestuia.

O să încep cu definiția. Paralelogramul cu două laturi alăturate congruente se numește rom.

Având în vedere că romul este un paralelogram particular, acesta va avea toate proprietățile paralelogramului.

Laturile opuse vor fi paralele două câte două, laturile opuse sunt congruente două câte două,

unghiurile opuse sunt congruente, iar unghiurile alăturate sunt suplementare.

Dacă laturile opuse sunt congruente, dar prin definiție romul are și laturile alăturate congruente,

va rezulta că toate cele patru laturi ale romului sunt congruente.

Așadar, aceasta este o consecință a definiției și a proprietăților paralelogramului.

În cazul romului ABCD, AB va fi egală cu BC, egal cu CD și egal cu DA.

În plus, diagonalele acestui rom se înjumătățesc.

Dacă construim diagonalele, observăm că punctul de intersecție al acestora este situat la mijlocul fiecărei diagonale.

În plus, față de aceste proprietăți pe care le avea și paralelogramul, romul are două proprietăți specifice.

Acestea vor fi enunțate sub forma unor teoreme. O să încep cu prima teoremă.

Diagonalele unui rom sunt perpendiculare.

Așadar, avem un rom ABCD și trebuie să demonstrăm că AC este perpendiculară pe BD.

Având în vedere că ABCD este un rom, înseamnă că laturile sale sunt congruente.

Va rezulta că AB este egală cu AD. Deci, aceste două laturi au aceeași lungime.

Rezultă din această egalitate că triunghiul ABD este un triunghi isoscel.

O este mijlocul diagonalei BD. Deci BO este egal cu OD pentru că O este mijloc.

Înseamnă că AO este mediană în acest triunghi isoscel.

Va rezulta că AO este și înălțime. Înseamnă că AO este perpendiculară pe BD.

Am arătat că diagonalele unui rom sunt perpendiculare. Este valabilă și reciproca acestei teoreme.

Un paralelogram cu diagonalele perpendiculare este rom.

Deci, pentru a demonstra că un paralelogram este rom, fie arătăm că el are două laturi consecutive congruente,

fie arătăm că diagonalele sunt perpendiculare.

O altă proprietate a romului este enunțată sub forma teoremei numărul 3.

Diagonalele unui rom sunt bisectoarele unghiurilor.

Amând romul ABCD, trebuie să arătăm că diagonalele acestuia, adică segmentele AC și BD, sunt și bisectoarele unghiurilor.

Vom arăta că unghiul BAO este congruent cu unghiul DAO

și în mod similar se va arăta că unghiul BCO va fi congruent cu unghiul DCO,

unghiul ABO este congruent cu unghiul CBO,

unghiul ADO este congruent cu unghiul CDO.

Pentru a demonstra că aceste două unghiuri sunt congruente, le încadrăm în triunghiurile ABO și ADO,

a căror congruență poate fi demonstrată.

Cele două triunghiuri au următoarele elemente congruente.

AB este congruent cu AD, pentru că romul are toate cele patru laturi congruente.

Știm că diagonalele romului se înjumătățesc, înseamnă că punctul O este mijlocul diagonalei BD,

deci segmentul BO este congruent cu OD.

Și cele două triunghiuri au latura comună AO.

Va rezulta, conform cazului latura-latura-latura, că aceste două triunghiuri sunt congruente.

Demonstrație. Știm că ABCD este rom.

Iar romul are toate laturile congruente.

Va rezulta că AB este congruent cu AD.

O este mijlocul diagonalei BD.

Putem scrie că BO este congruent cu OD.

Iar AO este o latură comună a celor două triunghiuri.

AO este congruent cu AO, fiind o latură comună.

Din aceste trei relații rezultă, conform cazului de congruență latura-latura-latura,

că triunghiul ABO este congruent cu triunghiul ADO.

Iar congruența acestor două triunghiuri implică și congruența unghiurilor BAO

și DAO.

Am demonstrat prima relație.

Rezultă așadar că AO, respectiv AC, este bisectoarea unghiului BAD.

Rezultă AC bisectoarea unghiului BAD.

În mod analog se demonstrează și congruența celorlalte unghiuri.

Se folosește metoda triunghiurilor congruente și se arată că BD este și A bisectoare.

Este valabilă și reciproca acestei teoreme.

Teorema numărul 4.

Dacă într-un paralelogram o diagonală este și bisectoare, atunci paralelogramul este rom.

Pentru a demonstra că un paralelogram este rom, putem să aplicăm această teoremă reciprocă

și să arătăm că una din diagonale este și bisectoarea unghiului.

În continuare să vedem cum putem să calculăm perimetrul unui rom.

Știm că perimetrul unui patrulater în general este suma lungimilor laturilor,

deci perimetrului ABCD va fi egal cu AB plus BC plus CD plus AD.

Haideți să notăm aceste laturi cu L mic,

egal în continuare cu L plus L plus L plus L,

egal cu 4L.

Deci formula de calcul pentru perimetrul unui rom este 4 ori latura.

Rețineți această formulă pentru că se va folosi în rezolvarea exercițiilor și problemelor.

În continuare o să facem o aplicație.

Aflați lungimea diagonalei AC a rombului ABCD,

cunoscând măsura unghiului BCD de 120 grade

și perimetrul rombului este egal cu 80 centimetri.

Pornim de la datele problemei.

Știm perimetrul rombului,

perimetrului ABCD este egal cu 4 ori lungimea unei laturi, adică 4L.

Notăm laturile rombului cu L

și egal mai departe cu 80 centimetri.

Ca să-l aflăm pe L,

o să mai scrie o dată această ecuație,

pune cunoscuta L, împărțim această relație la 4,

obținem L egal cu 80 împărțit la 4,

L egal cu 20.

Deci latura rombului este 20 centimetri.

Însă noi trebuie să aflăm diagonala AC.

Știm că diagonala AC este și bisectoarea unghiului BCD.

Înseamnă că măsura unghiului BCA

va fi de 60 grade.

Triunghiul ABC este un triunghi isoscel pentru că are două laturi congruente

și mai mult, el are și un unghi cu măsura de 60 grade,

deci va fi un triunghi echilateral.

Înseamnă că laturile sale vor fi congruente,

deci diagonala AC va avea lungimea egală cu lungimea laturii rombului,

adică cu 20 centimetri.

Vom scrie că ABCD,

fiind un rom, rezultă că AB este egală cu BC,

rezultă triunghiul ABC isoscel.

Dar tot din faptul că ABCD este un rom,

rezultă că AC este bisectoarea unghiului BCD,

rezultă că măsura unghiului BCA

este egală cu 60 grade.

Din cele două relații rezultă că triunghiul ABC este echilateral.

Un triunghi echilateral are toate laturile egale,

va rezulta că AC este egală cu AB și egal cu BC mai departe și egal cu 20 centimetri.