Arii — Memorator Geometrie plană

Aria triunghiului

Vezi videoclipul: Aria triunghiului Vezi toată lecția: Aria triunghiului Citește teoria: Aria triunghiului

Aria triunghiului este semiprodusul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare ei.

$A M ⊥ B C A_{△ A B C} = \frac{B C \cdot A M}{2}$

BC- bază (B)

AM- înălțime (h)

$A_{△} = \frac{B \cdot h}{2}$

În cazul în care triunghiul este dreptunghic, putem aplica atât formula de mai sus (unde baza este ipotenuza triunghiului), cât și următoarea formulă:

Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor.

$A_{△ d r} = \frac{c_{1} \cdot c_{2}}{2}$

Arii triunghiuri

Vezi videoclipul: Arii triunghiuri Vezi toată lecția: Aria triunghiului Citește teoria: Arii triunghiuri

Triunghiul este figura geometrică dată de reuniunea segmentelor închise determinate de trei puncte distincte necoliniare. Este una dintre formele poligonale fundamentale ale geometriei.

Definiții:

$[AB]\cup [BC]\cup [CA]=\triangle [ABC]$

punctele A, B, C se numesc vârfurile triunghiului.
[AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului.
$\angle BAC,\angle ABC,\angle ACB$ se numesc unghiurile (interne) triunghiului.

Clasificare:

Clasificarea triunghiurilor se face:

în funcție de lungimile laturilor
după felul unghiurilor

În funcție de lungimile laturilor

Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral. Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel. Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi scalen (sau oarecare).

După felul unghiurilor

Triunghiul cu toate unghiurile ascuțite este numit triunghi ascuțitunghic. Dacă unul dintre unghiuri este drept, triunghiul este denumit dreptunghic. Triunghiul cu un unghi mai mare de 90⁰ se numește triunghi obtuzunghic.

Formule:

Aria triunghiului

A_{\triangle }\leq {\frac {P_{\triangle }^{2}}{12{\sqrt {3}}}}

, iar

A_{\triangle ec}={\frac {P_{\triangle }^{2}}{12{\sqrt {3}}}}

A_{\triangle }={\frac {l\cdot h_{l}}{2}}

A_{\triangle dr}={\frac {1}{2}}b*c

A_{\triangle ec}={\frac {l^{2}{\sqrt {3}}}{4}}

A_{\triangle }=pr

A_{\triangle }={\frac {abc}{4R}}

A_{\triangle }={\frac {D^{2}\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma }{2}}

A_{\triangle }={\frac {ab\cdot \sin(a;b)}{2}}={\frac {bc\cdot \sin(b;c)}{2}}={\frac {ac\cdot \sin(a;c)}{2}}

A_{\triangle }={\frac {\sqrt {ab\cdot h_{a}h_{b}}}{2}}={\frac {\sqrt {ac\cdot h_{a}h_{c}}}{2}}={\frac {\sqrt {bc\cdot h_{b}h_{c}}}{2}}

A_{\triangle }={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}}={\frac {a+c}{2(h_{a}^{-1}+h_{c}^{-1})}}={\frac {b+c}{2(h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})}}

A_{\triangle }={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}={\frac {Rh_{a}h_{c}}{b}}={\frac {Rh_{a}h_{b}}{c}}

Formula lui Heron:

A_{\triangle }={\frac {\sqrt {P(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}{4}}

A_{\triangle }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Alte forme ale formulei lui Heron:

A_{\triangle }={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4}}

A_{\triangle }={\frac {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4}}

A_{\triangle }={\frac {\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}{4}}

Aria triunghiului dreptunghic isoscel

Vezi videoclipul: Aria triunghiului dreptunghic isoscel Vezi toată lecția: Aria triunghiului Citește teoria: Aria triunghiului dreptunghic isoscel

Aria triunghiului dreptunghic isoscel

Triunghiul dreptunghic este triunghiul care are un unghi drept (cu măsura de 90°).

Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză.

Triunghi dreptunghic isoscel

Un triunghi dreptunghic care are catetele congruente se numește triunghi dreptunghic isoscel. În acest caz, unghiurile ascuțite sunt congruente și au măsura egală cu 45° (pentru că (180°-90°):2=45°).

Aria triunghiului dreptunghic isoscel

Aria unui triunghi dreptunghic se poate scrie în două moduri:

1. Dacă notăm cele două catete cu c1 și c2, atunci formula pentru arie este semiprodusul catetelor:

$A= \frac{{c_{1}}\cdot {c_{2}}}{2}$

2. Dacă notăm cu i – ipotenuza triunghiului și cu h – înălțimea corespunzătoare ei, atunci aria triunghiului se calculează folosind formula:

$A=\frac{ i\cdot h}{2}$

Aria triunghiului echilateral

Vezi videoclipul: Aria triunghiului echilateral Vezi toată lecția: Aria triunghiului Citește teoria: Aria triunghiului echilateral

Aria triunghiului echilateral

Triunghiul echilateral reprezintă triunghiul cu toate laturile de lungime egală (congruente). În geometria euclidiana triunghiul echilateral este de asemenea echiangular (toate cele trei unghiuri interne sunt egale între ele) și poligon regulat.

∆ABC echilateral ⟹ AB≡AC≡BC.

Proprietatile triunghiului echilateral

Proprietatea 1. Triunghiul echilateral are toate unghiurile congruente, având fiecare măsura egală cu 60° (180°:3=60°).

∡A=∡B=∡C=60°.

Proprietatea 2. Într-un triunghi echilateral, toate liniile importante care pornesc din același vârf coincid (bisectoarele unghiurilor coincid cu înălțimile, medianele și mediatoarele). Acestea sunt și axe de simetrie.

Proprietatea 3. Într-un triunghi echilateral, centrul cercului circumscris coincide cu centrul cercului înscris, cu ortocentrul și cu centrul de greutate (notat pe figură cu O).

Aria triunghiului echilateral este:

A={\frac {l^{2}{\sqrt {3}}}{4}}

,

l

fiind lungimea laturii triunghiului

Aria triunghiului isoscel

Vezi videoclipul: Aria triunghiului isoscel Vezi toată lecția: Aria triunghiului Citește teoria: Aria triunghiului isoscel

Aria triunghiului isoscel

Triunghiul isoscel are doua laturi egale/congruente, iar ce-a de-a treia latura se numeste baza.

Formula de calcul pentru aria unui triunghi isoscel:

$A= (b + h)/2$ , unde b este baza si h inaltime.

Intr-un triunghi isoscel, inaltimea este si mediana si mediatoare si bisectoare, iar h este inaltime.

Formula lui Heron:

$A= \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$, p este semiperimetrul, iar a,b,c sunt lungimile laturilor.

Aria triunghiului dreptunghic

Vezi videoclipul: Aria triunghiului dreptunghic Vezi toată lecția: Aria triunghiului Citește teoria: Aria triunghiului dreptunghic

Aria triunghiului dreptunghic

Aria unui triunghi dreptunghic se poate scrie în două moduri:

1. Dacă notăm cele două catete cu c1 și c2, atunci formula pentru arie este semiprodusul catetelor:

$A= \frac{{c_{1}}\cdot {c_{2}}}{2}$

2. Dacă notăm cu i – ipotenuza triunghiului și cu h – înălțimea corespunzătoare ei, atunci aria triunghiului se calculează folosind formula:

$A=\frac{ i\cdot h}{2}$

Aria triunghiului folosind sinusul

Vezi videoclipul: Aria triunghiului folosind sinusul Vezi toată lecția: Aria triunghiului Citește teoria: Aria triunghiului folosind sinusul

Atunci când se cunosc lungimile a două laturi ale unui triunghi și măsura unghiului cuprins între ele, putem aplica următoarele formule pentru a calcula aria triunghiului:

1. Dacă unghiul cuprins între laturi este ascuțit:

$A_{△ A B C} = \frac{A B \cdot A C \cdot \sin \hat{A}}{2} A_{△} = \frac{b \cdot c \cdot \sin \hat{A}}{2}$

2. Dacă unghiul cuprins între laturi este obtuz:

$A_{△ A B C} = \frac{A B \cdot A C \cdot \sin (180 ° - A)}{2} A_{△} = \frac{b \cdot c \cdot \sin (180 ° - A)}{2}$

Formula lui Heron (teorie)

Vezi videoclipul: Formula lui Heron (teorie) Vezi toată lecția: Aria triunghiului- formula lui Heron Citește teoria: Formula lui Heron (teorie)

Formula lui Heron pentru calculul ariei unui triunghi atunci când se cunosc lungimile laturilor acestuia este:

$A_{△} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)},$

unde:

a, b,c - lungimile laturilor triunghiului

s- semiperimetrul

$s = \frac{a + b + c}{2} .$

Formula lui Heron (aplicații)

Vezi videoclipul: Formula lui Heron (aplicații) Vezi toată lecția: Aria triunghiului- formula lui Heron Citește teoria: Formula lui Heron (aplicații)

Formula lui Heron pentru calculul ariei unui triunghi atunci când se cunosc lungimile laturilor acestuia este:

$A_{△} = \sqrt{s (s - a) (s - b) (s - c)},$

unde:

a, b,c - lungimile laturilor triunghiului

s- semiperimetrul

$s = \frac{a + b + c}{2} .$

Aria triunghiului oarecare

Vezi videoclipul: Aria triunghiului oarecare Vezi toată lecția: Aria triunghiului- formula lui Heron Citește teoria: Aria triunghiului oarecare

Aria triunghiului oarecare

Formula lui Heron

În geometrie, formula lui Heron, este o expresie matematică prin care se poate calcula suprafața unui triunghi oarecare fiind date cele trei laturi.

Dacă ABC este un triunghi oarecare, cu laturile a, b și c, atunci suprafața sa este dată de formula:

A_{\triangle }={\frac {\sqrt {P(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}{4}}

A_{\triangle }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}

Alte forme ale formulei lui Heron:

A_{\triangle }={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4}}

A_{\triangle }={\frac {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4}}

A_{\triangle }={\frac {\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}{4}}

Formula ariei triunghiului

Vezi videoclipul: Formula ariei triunghiului Vezi toată lecția: Aria triunghiului exprimată cu ajutoru... Citește teoria: Formula ariei triunghiului

Aria triunghiului ABC cu vârfurile $A\left ( x_{1},y_{1} \right ),B\left ( x_{2},y_{2} \right ),C\left ( x_{3},y_{3} \right )$ este:

$A= \frac{1}{2}\left | x_{1}\left ( y_{3}-y_{2} \right )+x_{2}\left ( y_{1}-y_{3} \right ) +x_{3}\left ( y_{2}-y_{1} \right )\right |$.

Dreptunghi. Aria dreptunghiului

Vezi videoclipul: Dreptunghi. Aria dreptunghiului Vezi toată lecția: Aria dreptunghiului Citește teoria: Dreptunghi. Aria dreptunghiului

Aria dreptunghiului

Dreptunghiul reprezintă un caz particular de paralelogram, care are toate unghiurile drepte.

Dreptunghiul este un paralelogram având un unghi drept. În consecință și celelalte unghiuri ale paralelogramului respectiv sunt drepte.

Proprietati:

laturile opuse sunt paralele doua cate doua (AB || CD, BC || AD);
laturile opuse sunt congruente două câte două (AB ≡ CD, BC ≡ AD);
diagonalele sunt congruente (AC ≡ BD);
diagonalele se înjumătățesc (AO ≡ OC, BO ≡ OD);
unghiurile sunt congruente și au măsura de 90°;
latura mai mare se numește lungime (L), iar cea mai mică, lățime (l);
aria este egală cu produsul dintre lungime și lățime: $A=L\cdot l$ ;
aria este de patru ori mai mare decât aria triunghiului format de o latură și cele două jumătăți de diagonale care pornesc din capetele laturii, sau de două ori mai mare decât aria triunghiului format de două laturi alăturate și diagonala opusă acestora;
perimetrul dreptunghiului este egal cu dublul sumei dintre lungime și lățime: $P=2\cdot (L+l)$ ;
patratul reprezintă un caz particular de dreptunghi, în care lungimea și lățimea sunt egale;
Un patrulater este dreptunghi dacă este îndeplinită una din următoarele condiții:
este paralelogram și are un unghi drept;
este paralelogram și are diagonalele congruente.

Aria dreptunghiului

Dacă notăm cu l lățimea și cu L lungimea dreptunghiului, atunci formula de calcul pentru aria dreptunghiului este:
A=l^.L.

Aria dreptunghiului

Vezi videoclipul: Aria dreptunghiului Vezi toată lecția: Aria dreptunghiului Citește teoria: Aria dreptunghiului

Aria unui dreptunghi se obține înmulțind lățimea cu lungimea.

$A_{▭} = l \cdot L$

Exemplu:

Aria unui dreptunghi având dimensiunile de 4 cm și 5 cm este:

$A ▭ = 4 \cdot 5 = 20 c m^{2}$

Patratul. Aria patratului.

Vezi videoclipul: Patratul. Aria patratului. Vezi toată lecția: Aria pătratului Citește teoria: Patratul. Aria patratului.

Pătratul

Pătratul este poligonul regulat cu patru laturi. El este un caz particular de dreptunghi (dreptunghiul cu laturile adiacente egale) și de romb (rombul cu unghiurile drepte).