Aria trapezului

În lecția aceasta o să deducem formula de calcul pentru aria trapezului.

Trapezul este patrulaterul cu două laturi paralele și două laturi neparalele.

Laturile paralele, AB și CD, se vor numi baze.

AB se numește baza mare, iar CD este baza mică.

Să dăm mai întâi o definiție.

Înălțimea trapezului este distanța dintre cele două baze.

Vom nota baza mare cu litera B mare, iar baza mică cu litera B mic.

Distanța dintre cele două baze va fi o perpendiculară comună pe cele două laturi paralele, de exemplu pe Q.

Dar având în vedere că dreptele AB și CD sunt paralele, distanța dintre ele va fi tot timpul constantă.

Ea nu depinde de poziția punctelor P și Q.

Dacă vom duce și din D o perpendiculară pe AB, observăm că segmentul DM va avea aceeași lungime cu segmentul pe Q.

Și atunci vom considera înălțimea trapezului ca fiind segmentul DM.

Pentru a calcula area trapezului, o să ducem diagonala BD.

Observăm că această diagonală împarte trapezul în două suprafețe triunghiulare.

S-au format triunghiurile ADB și BCD.

Area trapezului ABCD va fi egală cu suma ariilor celor două triunghiuri.

Vom scrie că area trapezului ABCD este compusă din area triunghiului ABD plus area triunghiului BCD.

ABD este un triunghi oarecare, iar formula de calcul pentru area unui triunghi, în general, este baza ori înălțimea supra 2.

În triunghiul ABD, înălțimea este DM, iar baza triunghiului este AB, adică latura pe care am dus perpendicularea.

Și atunci vom scrie că area triunghiului ABD este egală cu AB ori DM supra 2.

Și acum să ne uităm la triunghiul BCD.

Acesta este un triunghi obtuz unghic, iar dacă vom construi perpendicularea din B pe latura CD, aceasta va fi situată în exteriorul triunghiului.

Pentru a putea duce înălțimea din B, va trebui mai întâi să prelungim segmentul CD.

Am notat cu N piciorul perpendiculare din B, și atunci înălțimea triunghiului BCD va fi BN, iar baza triunghiului este CD.

Așadar, area triunghiului BCD va fi egală cu CD ori BN supra 2.

Acum trebuie să adunăm două fracții cu același numitor.

Se adună numărătorii.

La numărător vom scrie AB ori DM plus CD ori BN totul supra 2.

Putem nota cele două înălțimi DM și BN cu litera H.

După cum spuneam mai devreme, distanța dintre cele două baze ale trapezului este constantă.

Și vom nota această constantă cu litera H.

Și acum folosind această notație, relația aceasta se va scrie astfel.

AB ori H plus CD ori H totul supra 2.

La numărător putem să-l dăm factor comun pe H.

Și obținem AB plus CD totul ori H supra 2.

Vom folosi în continuare notațiile amintite la început.

Baza mare AB se va nota cu litera B mare, iar baza mică CD cu litera B mic.

Și obținem în continuare următoarea formulă.

Baza mare plus baza mică ori înălțimea supra 2.

Aceasta va fi formula de calcul pentru area trapezului.

O repet, area unui trapez se calculează după formula baza mare plus baza mică ori înălțimea supra 2.

Această formulă se va aplica în rezolvarea problemelor.

În continuare vom face o problemă.

ABCD este un trapez isoscel, AB este paralelă cu CD, AB este mai mare decât CD, iar laturile AD și BC sunt congruente.

Se știe că CD este egal cu 8 centimetri și că măsura unghiului ABC este egală cu 45 de grade, iar înălțimea trapezului este egală cu 4 centimetri.

Calculați area trapezului.

Am scris mai întâi ipoteza și concluzia.

Înălțimea trapezului este perpendiculara CM, iar aceasta are lungimea de 4 centimetri.

Trebuie să aflăm area trapezului.

Demonstrație.

Să reamintim formula de calcul pentru area trapezului.

Area lui ABCD este egală cu baza mare plus baza mică ori înălțimea supra 2.

Știm că baza mică este egală cu 8 centimetri și înălțimea CM este 4 centimetri.

Mai trebuie doar să aflăm baza mare, adică lungimea segmentului AB.

Pentru a afla lungimea acestui segment o să ducem și perpendicularea din D pe AB.

Și notăm piciorul perpendicularei cu N.

Anunțăm construcția făcută și e DN perpendiculară pe AB.

Observăm că aici s-a format un dreptunghi.

DNMC este dreptunghi și atunci lungimea segmentului NM va fi egală cu lungimea segmentului DC.

NM va avea 8 centimetri.

Din construcția făcută va rezulta că DNMC este dreptunghi iar de aici va rezulta că NM este egal cu DC și egal cu 8 centimetri.

Acum mai trebuie să aflăm lungimea segmentelor AN și MB.

Se mai știe că măsura unghiului ABC este egală cu 45 de grade.

Observăm că triunghiul CMB este un triunghi dreptunghic și atunci putem să aflăm măsura unghiului BCM.

Măsura acestui unghi va fi egală cu 180 de grade, minus 90 de grade, minus 45 de grade.

Și obținem 45 de grade.

Vom scrie cele discutate până acum în triunghiul CMB.

Știm că măsura unghiului CMB este egală cu 90 de grade.

Măsura unghiului MBC este egală cu 45 de grade din ipoteză.

Și atunci rezultă că măsura unghiului MCB este egală cu 180 de grade, minus 90 de grade, minus 45 de grade și egal cu 45 de grade.

Observăm așadar că triunghiul MBC are două unghiuri congruente.

Înseamnă că acesta este un triunghi dreptunghic isoscel.

Dar știm din datele problemei că latura CM este egală cu 4 centimetri.

Și atunci va rezulta că și latura MB va fi egală tot cu 4 centimetri.

În mod analog se arată că lungimea segmentului AN este egală cu lungimea segmentului DN și egală cu 4 centimetri.

Voi continua mai jos.

Va rezulta că unghiul CBM este congruent cu unghiul MCB.

De unde rezultă că triunghiul CMB este un triunghi isoscel.

Înseamnă că CM este egal cu MB și egal cu 4 centimetri.

Revenim puțin la trapezul isoscel.

Știm că trapezul isoscel are unghiurile alăturate bazei congruente.

Înseamnă că măsura unghiului DAN va fi egală cu 45 de grade.

Înseamnă că și aici avem un triunghi dreptunghi isoscel.

AR va fi egal cu DR și egal cu 4 centimetri.

Având în vedere că ABCD este trapez isoscel, rezultă că măsura unghiului A este egală cu măsura unghiului B și egală cu 45 de grade.

Rezultă în mod analog că triunghiul DAN este un triunghi isoscel.

De unde va rezulta că DN este egal cu AN și egal cu 4 centimetri.

Putem calcula acum lungimea segmentului AB însumând cele 3 segmente AN plus NM plus MB.

Egal cu 4 plus 8 plus 4.

Egal cu 16 centimetri.

Am aflat acum și baza mare.

Putem să aflăm area trapezului ABCD.

Aceasta va fi egală cu AB plus CD ori înălțimea supra 2.

Baza mare este 16, baza mică este 8, înălțimea este 4, totul supra 2.

16 plus 8 este 24 ori 4 supra 2.

Se simplifică 4 cu 2 și obținem 24 ori 2 egal cu 48 centimetri pătrați.