Aria rombului

În lecția aceasta o să deducem o formulă de calcul pentru aria rombului.

Rombul este, prin definiție, un paralelogram cu două laturi consecutive congruente.

La lecția respectivă am dedus câteva proprietăți ale rombului și anume,

laturile rombului sunt congruente și diagonalele acestuia sunt perpendiculare.

Având în vedere că rombul este un paralelogram particular,

pentru calculul ariei acestuia putem folosi în primul rând formula de calcul de la aria paralelogramului.

Dacă ducem o înălțime în acest romb, adică o perpendiculară dintr-un vârf pe o latură opusă,

atunci o formulă de calcul pentru aria rombului ar putea fi baza ori înălțimea.

Baza este latura BC, iar înălțimea în cazul acesta este DM.

În continuare ne propunem să deducem și o altă formulă de calcul pentru aria rombului atunci când se cunosc diagonalele acestuia.

Să construim diagonalele acestui romb, AC și BD.

Observăm că s-au format două triunghiuri, triunghiul ABD și triunghiul BCD,

și atunci aria rombului se poate scrie ca suma celor două arii.

Voi scrie că aria rombului ABCD este formată din aria triunghiului ABD plus aria triunghiului BCD.

În triunghiul ABD AO este înălțime pentru că diagonalele rombului sunt perpendiculare,

iar BD este baza triunghiului.

Și atunci putem să scriem că aria triunghiului ABD este semiprodusul dintre baza și înălțimea acestuia, adică BD ori AO supra 2.

Iar aria triunghiului BCD va fi BD ori CO supra 2.

Avem două fracții cu același numitor.

La numărător vom scrie BD ori AO plus BD ori CO totul supra 2.

Egal în continuare, la numărător putem să dăm factor comun pe BD.

Obținem BD pe lângă AO plus CO supra 2, dar AO plus CO formează segmentul AC egal cu BD ori AC supra 2.

BD și AC sunt diagonale în acest romb și atunci putem să scriem că aria rombului este semiprodusul diagonalelor.

Vom scrie D1, diagonala 1 ori diagonala 2 supra 2.

Așadar am obținut o a doua formulă de calcul pentru aria unui romb atunci când se cunosc diagonalele acestuia.

Aria este diagonala 1 ori diagonala 2 supra 2.

Această formulă se poate aplica pentru orice patrulater convex care are diagonalele perpendiculare.

Și acum să facem o aplicație.

O problemă, un romb are diagonalele de 6 cm, 8 cm și latura egală cu 5 cm.

Calculați la punctul A aria rombului iar la punctul B înălțimea rombului.

Să construim și noi diagonalele în rombul ABCD.

Având în medere că se cunosc aceste diagonale, pentru calculul ariei rombului vom folosi a doua formulă pe care am dedus-o mai devreme.

Aria rombului ABCD va fi semiprodusul diagonalelor ac ori bd supra 2

egal cu 8 ori 6 supra 2

egal cu 48 supra 2 și egal cu 24 cm pătrați.

Iar la punctul B trebuie să aflăm înălțimea rombului.

Să construim o înălțime, ducem de exemplu perpendicularea din D pe AB.

Trebuie să aflăm lungimea segmentului de M.

Pentru aceasta vom folosi prima formulă de calcul pentru aria rombului.

Rombul fiind un paralelogram, aria sa se poate scrie ca fiind produsul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare ei.

Aria rombului ABCD este baza AB ori DM.

Dar noi am calculat deja aria anterior, deci aceasta relație AB ori DM se poate egala mai departe cu 24 cm pătrați.

Știm că latura rombului este egală cu 5 cm, deci AB este 5 din ipoteză.

Și atunci deducem următoarea relație, 5 ori DM va fi egal cu 24.

De unde rezultă că DM este egal cu 24 împărțit la 5.

După ce facem un simplu calcul obținem rezultatul 4,8 cm.

Așadar înălțimea rombului va fi egală cu 4,8 cm.