Formula lui Heron (teorie)

Știm că aria triunghiului se poate afla calculând semiprodusul dintre o latură și înălțimea corespunzătoare ei.

Deci aria triunghiului este egală cu a mic ori h supra 2.

În clasele mai mici, ați mai învățat o formulă pentru aria triunghiului și anume produsul a două laturi ori sinusul unghiului dintre ele supra 2.

Deci aria se mai poate scrie b ori c ori sinus de a supra 2.

Dar există situații în care nu putem afla înălțimea triunghiului și nu cunoaștem nici unghiurile acestuia.

În aceste situații vom folosi formula lui Heron care ne ajută să calculăm aria triunghiului cunoscând lungimile laturilor acestuia.

În continuare vom deduce formula lui Heron pornind de la această relație care se mai poate scrie astfel b ori c supra 2

iar în loc de sinus de a putem să folosim formula 2 sinus de a supra 2 ori cosinus de a pe 2.

Aici se simplifică 2 și obținem bc ori sinus de a supra 2 ori cosinus de a pe 2.

Deci am obținut relația aria este egală cu b ori c ori sinus de a supra 2 ori cosinus de a pe 2.

În continuare vom încerca să exprimăm sinus de a supra 2 și cosinus de a pe 2 în funcție de laturile triunghiului abc.

Folosim teorema cosinusului și avem cosinus de a este egal cu b pătrat plus c pătrat minus a pătrat supra 2 bc.

Folosim de asemenea următoarea formulă cosinus pătrat de a pe 2 este egal cu 1 plus cosinus de a supra 2.

Acum în această relație înlocuim cosinus de a cu expresia scrisă mai sus și avem 1 plus b pătrat plus c pătrat minus a pătrat supra 2 bc și totul supra 2.

Aducem la numitor comun și obținem 2bc plus b pătrat plus c pătrat minus a pătrat supra 4bc.

Primii trei termeni se pot restrânge sub forma b plus c totul a pătrat minus a pătrat supra 4bc.

Descompunem expresia de la numărător după formula a la a doua minus b la a doua egal cu a plus b pe lângă a minus b și obținem b plus c plus a pe lângă b plus c minus a totul supra 4bc.

În continuare vom nota semiperimetrul triunghiului cu s mic.

Deci s este egal cu a plus b plus c supra 2 și atunci a plus b plus c este egal cu 2s.

Ne propunem să exprimăm aceste paranteze în funcție de semiperimetrul triunghiului.

Prima paranteză este 2s și acum să vedem cum exprimăm cea de-a doua paranteză în funcție de s.

Pentru aceasta o să scădem din această egalitate 2a și obținem b plus c minus a egal cu 2 pe lângă s minus a.

Deci a doua paranteză va fi 2 pe lângă s minus a.

Așadar avem în continuare egal cu 2s ori 2 pe lângă s minus a supra 4bc egal cu s pe lângă s minus a supra bc.

Am obținut astfel cos pătrat de a pe 2 egal cu s pe lângă s minus a supra bc.

Prin urmare cosinus de a pe 2 va fi egal cu radical din s pe lângă s minus a supra bc.

Semnul radicalului va fi plus deoarece unghiul a supra 2 este un unghi din primul cadran.

Am exprimat până acum cosinus de a pe 2 în funcție de latuile triunghiului abc și acum mai trebuie să exprimăm și sinus de a supra 2.

Pentru aceasta folosim formula sinus pătrat de a pe 2 este egal cu 1 minus cosinus de a supra 2.

Procedăm ca și mai sus iar în loc de cosinus de a avem b pătrat plus c pătrat minus a pătrat supra 2bc și totul supra 2.

Aducem la numitor comun și avem 2bc minus b pătrat minus c pătrat plus a pătrat supra 4bc.

La numărător putem să scriem a pătrat minus pe lângă b pătrat plus c pătrat minus 2bc supra 4bc egal cu a la a doua minus,

expresia din paranteză se restringe sub forma b minus c totul a pătrat supra 4bc.

Descompunem iarăși în factor și avem a plus b minus c pe lângă a minus b plus c supra 4bc.

În continuare vrem să exprimăm aceste paranteze folosind semiperimetrul triunghiului.

Dacă a plus b plus c este 2s atunci a plus b minus c va fi 2 pe lângă s minus c iar a minus b plus c va fi 2 pe lângă s minus b.

Deci egal în continuare cu 2 pe lângă s minus c ori 2 pe lângă s minus b supra 4bc egal cu s minus c pe lângă s minus b supra bc.

Am obținut că sin pătrat de a pe 2 este egal cu s minus c pe lângă s minus b supra bc.

Și atunci sinus de a pe 2 va fi egal cu radical din s minus c pe lângă s minus b supra bc.

Acum înlocuim aceste două relații pe care le-am obținut în expresia de mai sus.

Voi continua aici.

Deci aria este egală cu bc ori în loc de sinus de a pe 2 am obținut radical din s minus c pe lângă s minus b supra bc.

Iar în loc de cosinus de a pe 2 avem radical din s pe lângă s minus a supra bc.

Egal în continuare cu radical din s pe lângă s minus a pe lângă s minus b pe lângă s minus c unde cu s am notat semiperimetrul triunghiului abc.

Aceasta este formula lui Heron pentru calculul ariei unui triunghi atunci când se cunosc lungimile laturilor acestuia.