Arii triunghiuri

Triunghiul este figura geometrică dată de reuniunea segmentelor închise determinate de trei puncte distincte necoliniare. Este una dintre formele poligonale fundamentale ale geometriei.



Definiții:

 {\displaystyle [AB]\cup [BC]\cup [CA]=\triangle [ABC]}

  • punctele A, B, C se numesc vârfurile triunghiului.
  • [AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului.
  •  {\displaystyle \angle BAC,\angle ABC,\angle ACB} se numesc unghiurile (interne) triunghiului.
Clasificare:

Clasificarea triunghiurilor se face:

  • în funcție de lungimile laturilor
  • după felul unghiurilor

În funcție de lungimile laturilor

Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral. Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel. Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi scalen (sau oarecare).

După felul unghiurilor

Triunghiul cu toate unghiurile ascuțite este numit triunghi ascuțitunghic. Dacă unul dintre unghiuri este drept, triunghiul este denumit dreptunghic. Triunghiul cu un unghi mai mare de 900 se numește triunghi obtuzunghic.


Formule:

Aria triunghiului

  {\displaystyle A_{\triangle }\leq {\frac {P_{\triangle }^{2}}{12{\sqrt {3}}}}}, iar 
{\displaystyle A_{\triangle ec}={\frac {P_{\triangle }^{2}}{12{\sqrt {3}}}}}
{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {l\cdot h_{l}}{2}}}
{\displaystyle A_{\triangle dr}={\frac {1}{2}}b*c}
{\displaystyle A_{\triangle ec}={\frac {l^{2}{\sqrt {3}}}{4}}}
{\displaystyle A_{\triangle }=pr}
{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {abc}{4R}}}
{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {D^{2}\cdot \sin \alpha \cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma }{2}}}
{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {ab\cdot \sin(a;b)}{2}}={\frac {bc\cdot \sin(b;c)}{2}}={\frac {ac\cdot \sin(a;c)}{2}}}
{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {\sqrt {ab\cdot h_{a}h_{b}}}{2}}={\frac {\sqrt {ac\cdot h_{a}h_{c}}}{2}}={\frac {\sqrt {bc\cdot h_{b}h_{c}}}{2}}}
{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}}={\frac {a+c}{2(h_{a}^{-1}+h_{c}^{-1})}}={\frac {b+c}{2(h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})}}}
{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}={\frac {Rh_{a}h_{c}}{b}}={\frac {Rh_{a}h_{b}}{c}}}

Formula lui Heron:

{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {\sqrt {P(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)}}{4}}}
 {\displaystyle A_{\triangle }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}

Alte forme ale formulei lui Heron:

{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4}}}
{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}{4}}}
{\displaystyle A_{\triangle }={\frac {\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}{4}}}