Raportul a două segmente este raportul lungimilor lor, exprimate în aceeași unitate de măsură.

Segmentele [AB], [BC], [CD] sunt proporționale cu segmentele [MN], [NP], [PQ], dacă lungimile lor sunt proporționale.

                         $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NP}=\frac{CD}{PQ}.$

Dacă trei sau mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente congruente, atunci ele determină pe orice altă secantă segmente congruente.

$Dacă \left[AB\right]\equiv \left[BC\right]\equiv \left[CD\right] \Rightarrow \left[MN\right]\equiv \left[NP\right]\equiv \left[PQ\right].$

O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi (sau pe prelungirile acestora) segmente proporționale.

                                           $\boxed{ MN\parallel BC\Rightarrow \frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC} }$

Folosind proporții derivate, teorma lui Thales se mai poate scrie:

                                                     $\boxed{ \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC} }$

Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului.

$\frac{AM}{MB}=\frac{AN}{NC}\Rightarrow MN\parallel BC.$

Trei sau mai multe drepte paralele determină pe o secantă segmente proporționale.

$\frac{MN}{AB}=\frac{NP}{BC}=\frac{PQ}{CD}$

Într-un triunghi, bisectoarea unui unghi determină pe latura opusă segmente proporționale cu celelalte două laturi.

(AD- bisectoare interioară a unghiului BAC

$\boxed{ \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC} }$

(AE- bisectoarea unghiului exterior unghiului BAC

$\boxed{ \frac{EB}{EC}=\frac{AB}{AC} }$

Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul determinat de mijloacele a două laturi ale triunghiului.

M- mijlocul lui [AB]

N- mijlocul lui [AC]

[MN]- linie mijlocie

Proprietăți:

• linia mijlocie este paralelă cu ce-a de-a treia latură
• linia mijlocie are lungimea egală cu jumătate din lungimea celei de-a treia laturi.

$MN\parallel BC, MN=\frac{BC}{2}.$

Linia mijlocie a unui triunghi este segmentul determinat de mijloacele a două laturi ale triunghiului.

M- mijlocul lui [AB]

N- mijlocul lui [AC]

[MN]- linie mijlocie

Proprietăți:

• linia mijlocie este paralelă cu ce-a de-a treia latură
• linia mijlocie are lungimea egală cu jumătate din lungimea celei de-a treia laturi.

$MN\parallel BC, MN=\frac{BC}{2}.$

Linia mijlocie a unui trapez este segmentul determinat de mijloacele laturilor neparalele ale trapezului.

M- mijlocul lui [AB]

N- mijlocul lui [DC]

[MN]- linie mijlocie 

Proprietăți:

• linia mijlocie este paralelă cu bazele trapezului
• linia mijlocie are lungimea egală cu semisuma bazelor.

BC- baza mare (B)

AD- baza mică (b)

$\boxed{ MN\parallel BC, MN=\frac{B+b}{2} }$

Două triunghiuri se numesc asemenea dacă au toate unghiurile respectiv congruente și toate laturile respectiv proporționale.

$$\begin{gathered} △ABC~△A`B`C` dacă: \\ \measuredangle A\equiv \measuredangle A` \\ \measuredangle B\equiv \measuredangle B` \\ \measuredangle C\equiv \measuredangle C` \\ \frac{AB}{A`B`}=\frac{BC}{B`C`}=\frac{AC}{A`C`}. \end{gathered}$$

O paralelă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat.

$MN\parallel BC\Rightarrow △AMN~△ABC.$

O paralelă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi (sau cu prelungirile lor) un triunghi asemenea cu cel dat.

$MN\parallel BC\Rightarrow △AMN~△ABC.$

Criteriul I (U.U.) Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două unghiuri respectiv congruente.

$$\begin{gathered} \overline{)\measuredangle A\equiv \measuredangle A` \\ \measuredangle B\equiv \measuredangle B`} \Rightarrow △ABC~△A`B`C` \end{gathered}$$

Criteriul II (L.U.L.) Două triunghiuri sunt asemenea dacă au două laturi respectiv proporționale și unghiurile dintre acestea congruente.

$$\begin{gathered} \overline{)\measuredangle A\equiv \measuredangle A` \\ \frac{AB}{A`B`}=\frac{AC}{A`C`}} \Rightarrow △ABC~△A`B`C` \end{gathered}$$

Criteriul III (L.L.L.) Două triunghiuri sunt asemenea dacă au toate laturile respectiv proporționale.

$\frac{AB}{A`B`}=\frac{AC}{A`C`}=\frac{BC}{B`C`}\Rightarrow △ABC~△A`B`C`.$

Proprietate. Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este egal cu pătratul raportului de asemănare.

$$\begin{gathered} △ABC~△A`B`C`, \frac{AB}{A`B`}=k \\ \boxed{ \frac{A_{△ABC}}{A_{△A`B`C`}}=k^2 } \end{gathered}$$ 

(unde k este raportul de asemănare).