Linia mijlocie în triunghi (teorie)

Linia mijlocie în triunghi

Segmentul care unește mijloacele a două laturi ale unui triunghi se numește linie mijlocie.

În triunghiul ABC am notat cu M mijlocul laturii AB și cu N mijlocul laturii AC.

Vom spune că MN este linie mijlocie în triunghiul ABC.

Dacă fixăm mijlocul segmentului BC și îl notăm cu litera P, atunci observăm că în triunghiul ABC putem construi trei linii mijlocii.

Acestea sunt MN, MP și NP.

În continuare o să dăm o proprietate a liniei mijlocii sub forma unei teoreme.

Linia mijlocie determinată de două laturi este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.

Vom demonstra această teoremă.

Se știe că MN este linie mijlocie și trebuie să arătăm că MN este paralelă cu BC și că lungimea segmentului MN este jumătate din lungimea segmentului BC.

Pentru a face demonstrația acestei teoreme avem nevoie de o construcție ajutătoare.

O să ducem prin punctul C o paralelă la latura AB.

Fie CP paralelă cu AB.

Pentru a demonstra că MN este paralelă cu BC ne propunem să arătăm că patrulaterul MBCP este paralelogram.

Iar pentru aceasta va trebui să arătăm că acest patrulater are două laturi opuse, paralele și congruente.

Vom arăta că PC și MB sunt paralele și congruente.

Relația de paralelism dintre acestea rezultă din construcția făcută, deci mai trebuie doar să arătăm că PC este congruent cu MB.

Pentru aceasta vom arăta că triunghiurile AMN și CPN sunt congruente.

Având în vedere că AB este paralelă cu PC iar AC este secantă, înseamnă că unghiul MAN este congruent cu unghiul PCN fiind unghiuri alterne interne.

Se știe din ipoteză că AN este congruent cu NC pentru că N este mijlocul laturii AC și mai observăm că unghiul ANM este congruent cu unghiul CNP fiind unghiuri opuse la vârf.

Unghiul MAN este congruent cu unghiul PCN fiind unghiuri alterne interne.

Segmentul AN este congruent cu segmentul NC din ipoteză și unghiul ANM este congruent cu unghiul CNP fiind unghiuri opuse la vârf.

Din aceste trei relații rezultă, conform cazului de congruență unghi-latură-unghi, că triunghiul AMN este congruent cu triunghiul CPN.

Notăm deocamdată această relație cu 1, ne va folosi ulterior.

Din congruență acestor triunghiuri rezultă că segmentul PC este congruent cu AM.

Dar AM este congruent cu MB pentru că punctul M este mijlocul laturii AB.

AM fiind congruent cu MB va rezulta din cele două relații că PC este congruent cu MB.

Am arătat așadar că patrulaterul MB-CP are două laturi opuse paralele și congruente și atunci va rezulta că acesta este paralelogram.

Din relațiile 2 și 3 rezultă că patrulaterul MB-CP este paralelogram.

Înseamnă că și celelalte două laturi, MP și BC, vor fi paralele și congruente.

Rezultă MP paralelă cu BC și atunci implicit MN va fi paralelă cu BC pentru că punctele MNP sunt coliniare.

Am demonstrat așadar punctul A al teoremei.

Mai trebuie să arătăm că MN este jumătate din BC.

Dacă MB-CP este paralelogram rezultă că laturile opuse sunt și congruente.

MP va fi congruent cu BC.

Însă din relația de congruență a acestor două triunghiuri mai rezultă faptul că segmentul MN este congruent cu NP.

Înseamnă că punctul N este mijlocul laturii MP.

Deci MN va fi jumătate din MP.

Însă MP fiind congruent cu BC va rezulta că MN este jumătate din BC.

Astfel am demonstrat și punctul B al teoremei.

Din relația 1, adică din congruența celor două triunghiuri, rezultă că segmentul MN este congruent cu NP.

Și va rezulta din această relație că MN este jumătate din MP.

Dar MP fiind congruent cu BC va rezulta că MN este jumătate din BC.

Și am demonstrat și punctul B al teoremei.

Este foarte important să rețineți că linia mijlocie a unui triunghi este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.

În continuare o să mai enunțăm o teoremă.

Dacă M este mijlocul laturii AB a triunghiului ABC și MN este paralelă cu BC, atunci N este mijlocul laturii AC.

Putem folosi această teoremă atunci când trebuie să arătăm că un segment este linie mijlocie a unui triunghi.

Dacă punctul M este mijlocul laturii AB iar MN este paralelă cu BC, atunci va rezulta implicit că și punctul N este mijlocul laturii AC.

Deci MN va fi linie mijlocie a triunghiului.