Teorema paralelelor neechidistante

Teorema paralelelor neechidistante

Trei sau mai multe drepte paralele determină pe două secante segmente proporționale.

Avem patru drepte paralele notate cu D1, D2, D3 și D4 și două secante A și B.

Secanta A intersectează cele patru drepte paralele în punctele A, B, C și D

iar secanta B intersectează dreptele în punctele A' , B' , C' și D'.

Atunci are loc următoarea relație

AB supra A'B' va fi egal cu BC supra B'C' și egal cu CD supra C'D'.

Această teoremă se poate aplica atunci când dorim să împărțim un segment în părți proporționale cu anumite numere date.

Vom face această aplicație.

Fie AB un segment cu lungimea de 9,8 cm.

Împărți segmentul în patru părți proporționale cu numerele 2, 3, 4 și 5.

Mai întâi vom duce prin punctul A o dreaptă pe care o notăm cu AM

și pe această dreaptă fixăm punctele C, D și E

astfel încât segmentul AC să fie egal cu 2 cm,

segmentul CD să aibă lungimea de 3 cm,

segmentul DE are lungimea de 4 cm,

iar segmentul EM să fie cu lungimea de 5 cm.

Pentru a împărți segmentul AB în părți proporționale cu aceste numere,

vom uni mai întâi punctele M și B,

apoi prin celelalte puncte C, D și E vom duce paralele la dreapta BM.

Iar punctele în care aceste drepte paralele intersectează segmentul AB

le vom nota cu F, G și H.

Astfel am reușit să împărțim, din punct de vedere geometric,

segmentul AB în patru părți proporționale cu numerele 2, 3, 4 și 5.

Și acum putem calcula în continuare lungimea segmentelor AF, FG, GH și HB.

Din teorema paralelelor neechidistante deducem următoarea relație

AF supra AC este egal cu FG supra CD egal cu GH supra DE și egal cu HB supra EM.

Segmentele AC, CD, DE și EM au lungimile de 2, 3, 4 și respectiv 5 centimetri.

Vom scrie AF supra 2 egal cu FG supra 3 egal cu GH supra 4 și egal cu HB supra 5.

Dar folosind proporții derivate, aceste rapoarte se pot egala mai departe cu raportul format de suma numărătorilor și suma numitorilor.

Deci avem AF plus FG plus GH plus HB supra 2 plus 3 plus 4 plus 5.

Dar AF plus FG plus GH plus HB formează lungimea segmentului AB iar aceasta este egală cu 9,8 centimetri.

Iar 2 plus 3 este 5 plus 4, 9 plus 5, 14.

Făcând separat această împărțire, 9,8 la 14 se obține 0,7.

Iar acum, ca să aflăm aceste segmente, egalăm fiecare raport cu rezultatul obținut.

AF supra 2 este egal cu 0,7.

AF va fi egal cu 2 ori 0,7, egal cu 1,4 centimetri.

FG supra 3 este egal cu 0,7.

Rezultă că FG este egal cu 3 ori 0,7, egal cu 2,1 centimetri.

GH supra 4 egal cu 0,7.

Rezultă GH egal cu 4 ori 0,7 și egal cu 2,8 centimetri.

HB supra 5 egal cu 0,7.

Rezultă HB egal cu 5 ori 0,7, egal cu 3,5 centimetri.

Am reușit astfel să împărțim un segment, având o lungime dată, în părți proporționale cu numerele 2, 3, 4 și 5,

folosind teorema paralelelor neechidistante.