Teorema fundamentală a asemănării (teorie)

În această lecție o să discutăm despre teorema fundamentală a asemănării.

Aceasta are următorul enunț.

O paralelă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi sau cu prelungirile lor un triunghi asemenea cu cel dat.

Avem un triunghi ABC și am dus o paralelă la dreapta BC pe care am notat-o cu DE.

În acest caz vom spune că triunghiul ADE este asemenea cu triunghiul ABC.

După cum observați, există trei posibilități.

În primul caz, dreapta DE este în interiorul triunghiului ABC,

iar în celelalte două cazuri, dreapta DE intersectează prelungirile laturilor triunghiului ABC.

În fiecare dintre cele trei situații, triunghiul ADE este asemenea cu triunghiul ABC.

Vom face demonstrația acestei teoreme în primul caz, în celelalte cazuri tratându-se analog.

Avem triunghiul ABC și am dus dreapta DE paralelă cu BC.

Trebuie să arătăm că triunghiul ADE este asemenea cu triunghiul ABC.

Vă reamintesc că două triunghiuri sunt asemenea dacă au toate cele trei unghiuri respectiv congruente și laturile proporționale.

Să ne uităm mai întâi la unghiuri.

Dacă dreapta DE este paralelă cu BC iar AB este secantă, atunci unghiurile ADE și ABC vor fi unghiuri congruente pentru că acestea sunt unghiuri corespondente.

Unghiul ADE va fi congruent cu unghiul ABC, fiind unghiuri corespondente.

Apoi unghiurile AED și ACB vor fi și acestea congruente.

Unghiul AED congruent cu unghiul ACB, fiind și acestea unghiuri corespondente.

Iar unghiul A este un unghi comun al celor două triunghiuri.

Putem scrie că unghiul A este congruent cu unghiul A, fiind un unghi comun.

Am arătat că cele trei unghiuri sunt respectiv congruente.

Pentru a arăta că triunghiurile sunt asemenea, mai trebuie să demonstrăm că laturile acestora sunt proporționale.

Dacă DE este paralelă cu BC, putem aplica teorema lui Tales, care ne spune că o paralelă dusă la una din laturile unui triunghi formează cu celelalte două laturi segmente proporționale.

Am văzut în lecția respectivă că folosind proporții derivate putem scrie următoarea egalitate de rapoarte.

AD supra AB este egal cu AE supra AC.

Avem astfel o egalitate între două rapoarte.

Mai trebuie doar să arătăm că raportul AE supra AC este egal cu DE supra BC pentru a finaliza această demonstrație.

Să vedem cum putem demonstra în continuare egalitatea acestor două rapoarte.

Pentru aceasta vom face o construcție ajutătoare și o să ducem prin punctul E o paralelă la latura AB.

Fie EF paralelă cu AB.

Observăm că aici s-a format un paralelogram. DEFB este paralelogram pentru că are laturile paralele două câte două.

Și de aici va rezulta că DE este egală cu BF.

Dacă EF este paralelă cu AB putem aplica din nou teorema lui Tales pe care o vom scrie sub următoarea formă.

AE supra AC este egal cu BF supra BC.

Însă BF este egal cu DE și atunci va rezulta că AE supra AC este egal cu DE supra BC.

Am demonstrat așadar această relație.

Din relațiile 1 și 2 va rezulta că laturile celor două triunghiu sunt proporționale.

AD supra AB este egal cu AE supra AC și egal cu DE supra BC.

Și de aici va rezulta că triunghiul ADE este asemenea cu triunghiul ABC.

Observăm că teorema fundamentală a asemănării completează teorema lui Tales deoarece concluzia este mai cuprinzătoare, aceasta referindu-se la toate cele trei laturi ale triunghiurilor.