Teorema lui Thales

Thales din Milet a fost un filozof grec care a avut contribuții importante în matematică și astronomie.

El a calculat înălțimea piramidelor din Egipt, măsurând umbra acestora pe nisip, a determinat momentul din zi în care umbra era egală cu înălțimea piramidei,

a demonstrat că unghiurile de la baza unui triunghi soscel sunt congruente, a demonstrat că unghiurile opuse la vârf sunt congruente,

a descoperit constelația Carul Mic și a prezis o eclipsă de soare și a demonstrat că o paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.

Vom studia în continuare această ultimă teoremă pe care o vom numi teorema lui Thales.

O paralelă dusă la una din laturile unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale.

Dacă avem un triunghi ABC și am dus MN o paralelă la latura BC, atunci AM supra MB va fi egal cu AN supra NC.

Vom face demonstrația acestei teoreme și vom duce mai întâi niște construcții ajutătoare.

O să ducem o perpendiculară din M pe latura AC și o perpendiculară din N pe latura AB.

Fie ME perpendiculară pe AC și NF perpendiculară pe AB.

În demonstrația acestei teoreme vom folosi area triunghiurilor.

Vă reamintesc că area unui triunghi în general se calculează după formula baza ori înălțimea supra 2.

Ne propunem să calculăm următorul raport dintre area triunghiului AMN și area triunghiului MBN.

Să unim punctele B și N.

Area triunghiului AMN se poate scrie ca produsul dintre latura AM ori înălțimea corespunzătoare ei, adică NF supra 2.

Iar area triunghiului MBN va fi latura MB ori înălțimea corespunzătoare ei, NF supra 2.

Acesta fiind un triunghi obtuzunghi, înălțimea din N este situată în exteriorul triunghiului și aceasta este NF.

Deci area triunghiului MBN se poate scrie MB ori NF supra 2.

Egal mai departe cu AM ori NF supra 2, ori 2 supra, inversăm a doua fracție, MB ori NF.

Se simplifică 2 cu 2 și NF și rămâne AM supra MB.

Am exprimat așa, dar primul raport din teorema lui Tales trebuie acum să exprimăm raportul AN supra NC.

Pentru aceasta vom calcula raportul ariilor, triunghiurilor AMN și MNC.

Area triunghiului AMN supra area triunghiului MNC.

De data aceasta vom considera area triunghiului AMN ca fiind latura AN ori înălțimea corespunzătoare ei, ME supra 2.

Area triunghiului AN ori ME supra 2 și area triunghiului MNC va fi latura NC ori înălțimea corespunzătoare ei, adică ME supra 2.

Avem din nou o fracție supraintajată, vom înmulți prima fracție cu inversa celei de-a doua, AN ori ME supra 2 ori 2 supra, NC ori ME.

Se simplifică 2 și ME. Și rămâne AN supra NC.

Am reușit să exprimăm și cel de-al doilea raport din teorema Litales. Acum trebuie doar să arătăm că aceste rapoarte sunt egale.

Mai exact va trebui să arătăm că rapoartele ariilor acestor triunghiuri sunt egale.

Însă dacă ne uităm la aceste rapoarte dintre ariile triunghiurilor, observăm că la numărător avem același triunghi AMN,

deci mai trebuie doar să arătăm că area triunghiului MBN va fi egală cu area triunghiului MNC.

Ne propunem în continuare să arătăm că area triunghiului MBN este egală cu area triunghiului MNC.

Deocamdată voi nota aceste relații cu 1 și 2.

Vom încerca să exprimăm ariile acestor triunghiuri ducând alte înălțimi ale acestora.

Prelungim segmentul MN și ducem BP perpendiculară pe MN și CQ perpendiculară pe MN.

Fie BP perpendiculară pe MN și CQ perpendiculară pe MN.

Înseamnă că patrulaterul acesta care s-a format PBCQ este un dreptunghi pentru că acesta este un paralelogram cu două unghiuri drepte,

deci el va fi dreptunghi.

Rezultă din această construcție că PBCQ este dreptunghi.

Într-un dreptunghi laturile opuse sunt egale, deci PB va fi egală cu QC.

Acum vom exprima area triunghiului MBN ca fiind baza MN ori înălțimea BP supra 2

și area triunghiului MNC va fi exprimată ca produsul dintre latura MN ori înălțimea CQ supra 2.

Având în vedere că în formula arilor acestor două triunghiuri intervine același segment MN și două înălțimi care sunt egale,

va rezulta că arile acestor două triunghiuri vor fi egale.

Voi continua mai jos.

Area triunghiului MBN va fi egală cu produsul dintre latura MN ori înălțimea PB supra 2.

Area triunghiului MNC va fi MN ori QC supra 2, dar PB și QC sunt egale.

Înseamnă că arile acestor două triunghiuri vor fi egale.

Area triunghiului MBN va fi egală cu area triunghiului MNC și notez această relație cu 3.

Am arătat așadar că rapoartele arilor acestor triunghiuri sunt egale și atunci va rezulta că și aceste segmente sunt proporționale.

Din relațiile 1, 2 și 3 va rezulta că teorema lui Thales este demonstrată.

Din relația 1, 2 și 3 va rezulta că AM supra MB este egal cu AN supra NC.

Am demonstrat această teoremă.

Din această egalitate de rapoarte putem obține proporții derivate.

Dacă adunăm numărătorii la numitori obținem următoarea relație.

Am supra AM plus MB va fi egal cu AN supra AN plus NC.

Am plus MB va fi segmentul AB iar AN plus NC va fi segmentul AC.

Deci obținem următoarea proporție AM supra AB egal cu AN supra AC.

În unele probleme vom folosi această relație.

Deci e bine să o reținem și pe aceasta.

Am demonstrat așadar că o paralelă la una din laturile unui triunghi formează segmente proporționale.

AM supra MB va fi egal cu AN supra NC.

Teorema lui Thales este adevărată și în cazul în care paralela este dusă în exteriorul triunghiului.

Și am obținut de asemenea prin proporții derivate următoarea relație AM supra AB egal cu AN supra AC.

În continuare o să facem o problemă.

În triunghiul MNP se consideră punctul E situat pe latura MN și F situat pe latura NP astfel încât EF să fie paralelă cu MP.

Știind că ME este egal cu 6, MN egal cu 16 și FP egal cu 18 cm, calculați NE, NF și NP.

Demonstrație.

Vom aplica teorema lui Thales având în vedere că EF este paralelă cu NP.

Din teorema lui Thales va rezulta următoarea relație

NE supra EM egal cu NF supra FP.

Nu se cunoaște segmentul NE, dar putem să-l aflăm făcând diferența dintre segmentele NM și EM.

NE este egal cu NM minus EM egal cu 16 minus 6 și egal cu 10 cm.

Vom înlocui în egalitatea de mai sus.

10 supra EM este 6 egal cu NF supra 18.

Din această relație îl aflăm pe NF.

Acesta este egal cu 10 ori 18 supra 6.

Simplifică 18 cu 6 și rămâne 3.

Obținem 10 ori 3 egal cu 30 cm.

Și mai trebuie să-l aflăm pe NP.

NP va fi suma dintre segmentele NF și FP.

Este egal cu 30 plus 18 egal cu 48 cm.