Reciproca teoremei lui Thales

Reciproca teoremei lui Tales

O să încep cu o propoziție care ne va fi utilă în demonstrația reciprocei teoremei lui Tales.

Există un singur punct în interiorul unui segment care împarte segmentul într-un raport dat.

Să luăm un exemplu. Avem un segment AB și un punct M situat în interiorul acestuia.

Acest punct M va fi singurul care împarte segmentul AB în raportul 3 supra 5.

Pentru a vedea unde trebuie așezat punctul M, vom împărți segmentul AB în 8 părți egale,

astfel încât AM să fie 3 părți din acest segment, iar MB 5 părți.

Acest lucru rezultă foarte ușor din folosirea proporțiilor derivate.

Dacă pornim de la acest raport și folosim proporții derivate, adunând numărătorul la numitor,

obținem AM supra AM plus MB egal cu 3 supra 3 plus 5.

Dar AM plus MB este AB, va rezulta că AM supra AB este egal cu 3 supra 8,

de unde rezultă că AM este egal cu 3 supra 8 ori AB.

Așadar, segmentul AM va avea 3 optimi din lungimea segmentului AB,

iar segmentul MB va fi egal cu 5 supra 8 din lungimea segmentului AB.

Rețineți așadar că există un singur punct în interiorul unui segment care împarte segmentul într-un raport dat.

Și acum să enunțăm reciproca teoremei lui Tales.

Dacă o dreaptă determină pe două laturi ale unui triunghi segmente proporționale,

atunci ea este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului.

Avem un triunghi ABC și punctele M și N situate pe laturile AB și AC.

Dacă se verifică această egalitate AM supra MB egal cu AN supra NC,

atunci va rezulta că MN este paralelă cu BC.

Vom folosi reciproca teoremei lui Tales atunci când ne propunem să arătăm că două drepte sunt paralele.

Pentru demonstrația acestei teoreme vom folosi metoda reducerii la absurd.

Presupunem prin absurd că MN nu este paralelă cu BC.

Înseamnă că prin M putem să ducem o paralelă la BC care intersectează dreapta AC în punctul N'

Dacă MN' este paralelă cu BC, putem aplica teorema directă a lui Tales.

Va rezulta, conform teoremei lui Tales, că AM supra MB este egal cu AN' supra NC.

Dar noi știm din ipoteză că AM supra MB este egal cu AN supra NC.

Din aceste două relații rezultă că AN' supra NC este egal cu AN supra NC.

Din această egalitate va rezulta că punctul N' coincide cu punctul N,

deoarece există un singur punct în interiorul segmentului AC care împarte segmentul într-un raport dat.

Va rezulta așadar că punctul N' coincide cu punctul N.

Deci presupunerea noastră este falsă și rezultă că MN este paralelă cu BC.

Vom face în continuare două probleme.

Fie ABC un triunghi oarecare, D un punct situat pe latura AB, E un punct situat pe latura AC.

Știind că AB este egal cu 28 cm, DB egal cu 21 cm, AE egal 6 cm și EC egal 18 cm, arătați că DE este paralelă cu BC.

Vom folosi reciproca teoremei lui Tales.

Ne propunem să verificăm următoarea relație AD supra DB egal cu AE supra EC.

Dacă această egalitate este verificată, va rezulta conform teoremei reciproce a teoremei lui Tales că DE va fi paralelă cu BC.

Se știe că AB este 28 cm, DB 21 cm, AE 6 cm și EC 18 cm.

Să aflăm mai întâi lungimea segmentului AD, făcând diferența dintre segmentele AB și DB.

AD este egal cu AB minus DB, egal cu 28 minus 21, egal cu 7 cm.

Să calculăm acum raportul AD supra DB.

Acesta este egal cu 7 supra 21, tracția se mai poate simplifica cu 7 și obținem 1 supra 3.

Să calculăm acum celălalt raport, AE supra EC.

AE este 6, iar EC 18, se simplifică cu 6 și obținem 1 supra 3.

Observăm așadar că are loc această egalitate între cele două rapoarte.

Rezulta așadar că AD supra DB este egal cu AE supra EC, de unde va rezulta, conform reciprocei teoremei lui Tales,

că DE este paralelă cu BC.

Și a doua problemă, în triunghiul isoscel ABC, AB congruent cu AC,

se știe că AB este egal cu 18 cm și BD mediană, unde D aparține segmentului AC.

Fie M un punct situat pe latura AB și N un punct situat pe latura AC, astfel încât AM egal 6 cm și AN egal 3 cm.

Arătați că MN este paralelă cu BD.

Construim un triunghi ABC isoscel cu laturile AB și AC congruente.

BD este mediană, D fiind mijlocul laturii AC.

Fixăm punctele M și N, astfel încât AM să fie 6 cm și AN 3 cm.

Trebuie să arătăm că MN este paralelă cu BD.

Vom aplica și de această dată reciproca teoremei lui Tales și ne propunem să verificăm dacă este adevărată următoarea relație.

AM supra MB egal cu AN supra ND.

Dacă reușim să arătăm că această relație are loc, va rezulta că dreptele MN și BD sunt paralele.

Mai întâi va trebui să aflăm lungimea segmentului MB și lungimea segmentului ND.

Știm că AB este 18, înseamnă că MB va fi 18 minus 6, adică 12.

Mai știm că punctul D este mijlocul laturii AC, iar AC are tot 18 cm pentru că triunghiul este isoscel.

Înseamnă că DC va fi 9 și AD are 9 cm, iar ND se poate calcula făcând diferența dintre lungimea segmentului AD și lungimea segmentului AN.

Obținem 6.

Am aflat aceste segmente care intervin în reciproca teoremii lui Tales.

Și mai trebuie acum să verificăm dacă aceste segmente sunt proporționale.

Am văzut că BM este egal cu 18 minus 6, egal cu 12 cm.

Dacă BD este mediană, înseamnă că D este mijlocului AC, deci AD va fi egal cu DC și egal cu 18 împărțit la 2, adică 9 cm.

Dacă AN este 3 cm, înseamnă că ND este egal cu AD minus AN, egal cu 9 minus 3 și egal cu 6 cm.

Și acum să calculăm raportul AM supra MB.

Am este 6 cm din ipoteză, iar MB este 12, putem simplifica cu 6 și obținem 1 supra 2.

Iar AN supra ND va fi egal cu 3 supra 6.

AN este 3 din ipoteză, iar ND este 6.

Simplificăm cu 3 și obținem 1 supra 2.

Așadar, cele două rapoarte au aceeași valoare.

Înseamnă că AM supra MB este egal cu AN supra ND.

Va rezulta conform reciprocei teoremii lui Thales, că dreptele MN și BD sunt paralele.