Pătratul

Pătratul. În această lecție o să vorbesc despre pătrat și proprietățile acestuia.

Încep cu definiția. Patrulaterul, care este dreptunghi și romb, se numește pătrat.

Haideți mai întâi să ne reamintim ce este dreptunghiul și rombul.

Dreptunghiul este paralelogramul cu un unghi drept și am dedus la lecția respectivă că toate unghiurile dreptunghiului sunt drepte,

iar rombul este paralelogramul cu două laturi consecutive congruente și am dedus că toate laturile rombului sunt congruente.

Având în vedere că pătratul este în același timp dreptunghi și romb, el va avea atât proprietățile dreptunghiului cât și proprietățile rombului.

Dacă voi construi un dreptunghi având două laturi consecutive congruente, obțin un pătrat.

Sau dacă voi construi un romb având un unghi drept, obținem de asemenea un pătrat.

Vom putea așadar să mai dăm alte două definiții pentru această figură geometrică.

De exemplu, pătratul este dreptunghiul cu două laturi consecutive congruente sau pătratul este rombul cu un unghi drept.

Să vedem în continuare care sunt proprietățile pătratului.

Având în vedere că pătratul are toate proprietățile dreptunghiului și ale rombului, deducem următoarele caracteristici.

Dacă ABCD este un pătrat, el va avea toate laturile congruente. Aceasta este o proprietate moștenită de la romb.

Toate unghiurile vor fi drepte. Aceasta era una din proprietățile dreptunghiului.

Diagonalele sunt congruente, deci segmentele AC și BD vor avea aceeași lungime.

Diagonalele sunt perpendiculare, diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor și diagonalele au același mijloc.

Sau mai putem spune că diagonalele se înjumătățesc.

Să vedem care este formula de calcul pentru perimetrul pătratului.

Perimetrul unui patrulater, în general, este suma lungimilor laturilor.

Deci perimetrul pătratului ABCD este egal cu AB plus BC plus CD plus DA.

Dacă notăm aceste laturi cu litera L mic, putem să scriem egal mai departe cu 4L.

Deci rețineți formula de calcul pentru perimetrul unui pătrat.

Acesta este 4 ori latura.

În continuare o să facem o aplicație.

ABC este un triunghi cu masura unghiului A de 90 de grade.

Deci avem un triunghi dreptunghic în A.

Bisectoarea unghiului BAC intersectează latura BC în punctul D.

Fie N un punct care aparține laturii AB și M un punct care aparține laturii AC,

astfel încât DM să fie paralelă cu AB și ND paralelă cu AC.

Demonstrați că AMDN este pătrat.

Mai întâi scriem ipoteza și concluzia.

Avem mai multe metode de rezolvare a acestei probleme.

O să vă prezint două metode de rezolvare.

Ca să demonstrezi că AMDN este pătrat,

putem arăta că AMDN este un romb care are un unghi drept.

Ca să arătăm că AMDN este romb,

vom folosi una din teoremele enunțate în lecția rombul și anume,

un romb este un paralelogram în care una din diagonale este bisectoarea unghiului.

Deci mai întâi trebuie să arăt că AMDN este paralelogram,

apoi arătăm că este romb, apoi arătăm că este pătrat.

Se știe din ipoteză că AN este paralelă cu DM.

Tot din ipoteză știm că AM este paralelă cu ND.

Înseamnă că patrulaterul AMDN este un paralelogram

deoarece are laturile opuse paralele două câte două.

Un paralelogram în care una din diagonale este și bisectoarea unghiurilor

se numește romb.

Având în vedere că AD este bisectoarea unghiului BAC,

acest lucru se știe din ipoteză,

AD este bisectoarea unghiului BAC,

va rezulta că AMDN este un romb.

Dar știm din ipoteză că masura unghiului A este de 90 de grade,

iar un romb care are un ungh drept se numește pătrat.

Rezulta așadar că AMDN este pătrat.

O a doua metodă de rezolvare a acestei probleme

este să arătăm că AMDN este un drept unghi

care are două laturi consecutive congruente.

Metoda doi, arătăm așadar că AMDN este un drept unghi

cu două laturi consecutive egale.

Am văzut mai devreme că AM este paralelă cu ND din ipoteză,

iar AN este paralelă cu DM,

tot din ipoteză.

Rezultă că AMDN este paralelogram.

Dar măsura unghiului A este egală cu 90 de grade din ipoteză,

rezulta atunci că AMDN este drept unghi.

Mai trebuie doar să arătăm că acest drept unghi

are două laturi consecutive egale.

Măsura unghiului A este de 90 de grade.

Înseamnă că BA este perpendiculară pe AC.

Dar DM fiind paralelă cu BA,

rezultă că DM este și ea perpendiculară pe AC.

Deci avem un triunc drept unghic ADM

cu măsura unghiului M egală cu 90 de grade.

Știm că AD este bisectoarea unghiului BAC

și că unghiul A este drept.

Înseamnă că aceste unghiuri, BAD și DAC,

vor avea fiecare măsura egală cu 45 de grade.

În triunghiul ADM, suma măsurilor unghiurilor

este egală cu 180 de grade.

Putem afla măsura unghiului ADM

scăzând din 180 de grade,

45 de grade și 90 de grade.

O să obținem 45 de grade.

În triunghiul AMD, observăm că avem două unghiuri congruente.

Înseamnă că triunghiul AMD este un triunghi isoscel

cu baza AD.

Va rezulta așadar că segmentele AM și DM

sunt segmente congruente

pentru că triunghiul AMD este isoscel.

Am arătat atunci că în dreptunghiul AMDN

avem două laturi consecutive egale.

Înseamnă că acest dreptunghi este pătrat.

BA este perpendiculară pe AC.

BA este paralelă cu DM.

Va rezulta că și DM este perpendiculară pe AC.

Rezultă măsura unghiului AMD

egală cu 90 de grade.

Acum am văzut că măsura unghiului A este de 90 de grade

iar AD este bisectoare.

Va rezulta atunci că măsura unghiului BAD

este egală cu măsura unghiului DAC

și egal mai departe cu măsura unghiului BAC2

egal cu 90 de grade supra 2

egal cu 45 de grade.

Acum aflăm măsura unghiului ADM din triunghiul ADM.

În triunghiul ADM

măsura unghiului ADM

va fi egală cu 180 de grade

minus 90 de grade minus 45 de grade

egal cu 45 de grade.

Din relația 1 și 2

va rezulta că unghiul DAM

este congruent cu unghiul ADM

pentru că au aceeași măsură de 45 de grade.

Rezultă triunghiul ADM

este un triunghi isoscel cu baza AD.

Rezultă că unghiul AM este egal cu unghiul MD.

Din relația 3 și 4

va rezulta că unghiul AMDN este un pătrat

pentru că unghiul AMDN este un dreptunghi

având două laturi consecutive egale.

Din relația 3 și 4

va rezulta că unghiul AMDN este pătrat.