Paralelogramul (Teorie)

Prin definiție, un patrulater cu laturile opuse paralele se numește paralelogram.

Observăm că latura AD este paralelă cu BC și AB este paralelă cu DC.

Să vedem care sunt proprietățile paralelogramului.

Prima proprietate, laturile opuse sunt congruente.

AB va fi congruentă cu CD, iar latura BC va fi congruentă cu AD.

Cum putem să demonstrăm această proprietate?

O să ducem o diagonală, de exemplu AC.

Observăm că s-au format două triunghiuri, triunghiul ABC și triunghiul ADC.

Aceste două triunghiuri sunt congruente, deoarece au următoarele elemente congruente.

Având în vedere că AD este paralelă cu BC și AC este secantă,

atunci unghiul A1 va fi congruent cu unghiul C1, fiind unghiuri alterne interne.

Dacă AB este paralelă cu DC, iar AC este secantă,

unghiul A2 va fi congruent cu unghiul C2, fiind de asemenea unghiuri alterne interne.

Cele două triunghiuri mai au o latură comună, aceasta este latura AC.

Va rezulta conform cazului de congruență unghi-latură-unghi că cele două triunghiuri sunt congruente,

deci elementele corespondente vor fi congruente.

Latura AB va fi congruentă cu CD, iar latura BC va fi congruentă cu AD.

Congruența acestor două triunghiuri implică și congruența unghiurilor B și D.

Aceasta este cea de-a doua proprietate a paralelogramului, unghiurile opuse sunt congruente.

Deci unghiul B este congruent cu unghiul D,

iar dacă am dorit să demonstrăm că unghiul A este congruent cu unghiul C,

atunci am duce diagonala BD, s-ar forma alte două triunghiuri,

iar din congruența celor triunghiuri va rezulta că unghiul A este congruent cu unghiul C.

Cea de-a treia proprietate a unui paralelogram, unghiurile alăturate sunt suplementare.

De exemplu, măsura unghiului A plus măsura unghiului B este egală cu 180 de grade.

Acest lucru se datorează faptului că dreptele AD și BC sunt paralele,

iar AB fiind o secantă,

unghiul A și unghiul B sunt unghiuri interne de aceeași parte a secantei.

Ați învățat în clasa șasea că unghiurile interne de aceeași parte a secantei sunt suplementare.

Dacă prelungim latura BC,

unghiul A va fi congruent cu acest unghi, pe care îl putem nota cu X,

pentru că sunt unghiuri alterne interne,

dar unghiul X împreună cu unghiul B formează un unghi cu măsura de 180 de grade.

Înseamnă că și unghiul A împreună cu unghiul B sunt suplementare.

O altă proprietate a acestui paralelogram,

diagonalele se înjumătățesc.

De exemplu, dacă construim diagonalele,

ele se intersectează într-un punct O,

atunci AO va fi congruent cu OC,

iar BO va fi congruent cu OD.

Pentru a demonstra această proprietate,

se demonstrează congruența triunghiurilor AOB și DOC.

AB este paralelă cu CD,

iar AC secantă.

Rezultă că unghiul BAO este congruent cu unghiul OCD.

Dacă AB și CD sunt paralele și considerăm o altă secantă, BD,

atunci unghiul ODC va fi congruent cu unghiul OBA,

fiind alterne interne.

AB este congruentă cu DC,

pentru că am văzut la prima proprietate că laturile opuse sunt congruente,

și atunci, conform cazului de congruență unghi-laturi-unghi,

va rezulta că cele două triunghiuri sunt congruente,

iar asta înseamnă că și segmentele AO și OC vor fi congruente,

respectiv BO și OD.

Rețineți aceste patru proprietăți ale paralelogramului.

Pentru a demonstra că un patrulater este paralelogram,

putem fie să aplicăm definiție, adică să arătăm că are laturile opuse paralele două câte două,

fie aplicăm una din aceste patru proprietăți.

Însă mai este și o altă modalitate de a demonstra că un patrulater este paralelogram,

dacă arătăm, de exemplu, că acesta are două laturi opuse paralele și congruente.

De exemplu, dacă arătăm că AD și BC sunt paralele și congruente,

atunci va rezulta că patrulaterul, respectiv, este paralelogram,

și nu mai e nevoie să demonstrăm congruența celorlalte două laturi,

respectiv relația de paraleli sunt dintre acestea.

Haideți să vedem această teoremă.

Un patrulater este paralelogram dacă și nu mai dacă are două laturi opuse paralele și congruente.

Observăm că această teoremă conține expresia dacă și nu mai dacă.

Înseamnă că această teoremă este formată din alte două teoreme,

teorema directă și teorema reciprocă.

Teorema directă sau implicația directă este următoarea.

Dacă un patrulater este paralelogram, atunci are două laturi opuse paralele și congruente.

Nu mai e nevoie să demonstrăm această implicație,

deoarece rezultă clar din definiția paralelogramului și din prima proprietate pe care am văzut-o anterior.

Iar teorema reciprocă sau implicația inversă este următoarea.

Dacă un patrulater are două laturi opuse paralele și congruente,

el este paralelogram.

Vom demonstra această implicație inversă.

Am scris ipoteza și concluzia.

Avem un patrulater ABCD.

Deocamdată nu știm că este paralelogram.

Ne propunem să demonstrăm acest lucru.

În patrulaterul ABCD se știe că AD este paralelă cu BC și congruentă cu BC.

Trebuie să arătăm că ABCD este un paralelogram și voi folosi definiția paralelogramului.

Voi arăta că și celelalte două laturi, AB și DC, sunt paralele.

Pentru aceasta voi construi diagonala AC.

Dacă considerăm dreptele AB și DC împreună cu secanta AC,

se formează o pereche de unghiuri alterne interne.

Acestea sunt unghiurile BAC și DCA.

Dacă arăt că aceste două unghiuri alterne interne sunt și congruente,

va rezulta că AB este paralelă cu DC.

Pentru a demonstra congruența acestor două unghiuri, le încadrăm în două triunghiuri.

Voi arăta că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul CDA,

iar din congruența celor două triunghiuri va rezulta și congruența unghiurilor respective.

Demonstrație.

Fiind date dreptele AB și DC, iar AC secantă,

va rezulta că unghiul BAC împreună cu unghiul DCA

formează o pereche de unghiuri alterne interne.

În continuare vom arăta că aceste unghiuri sunt congruente

și atunci vom demonstra că AB este paralelă cu DC.

Comparăm triunghiul ABC cu triunghiul CDA.

Știm din ipoteză că BC este congruentă cu AD.

Mai știm din datele problemei că AD este paralelă cu BC.

Dacă considerăm secanta AC, se formează două unghiuri alterne interne.

Acestea sunt unghiurile BCA și DAC.

Voi scrie că unghiul BCA este congruent cu unghiul DAC,

fiind unghiuri alterne interne.

Și observăm că aceste triunghiuri au o latură comună.

Aceasta este latura AC.

Segmentul AC este congruent cu segmentul AC, fiind o latură comună.

Din aceste trei relații, va rezulta, conform cazului de congruență, latură-unghi-latură.

Triunghiul ABC este congruent cu triunghiul CDA,

iar din congruență acestor triunghiuri rezultă și congruența unghiurilor BAC și DCA.

Iar fiind și unghiuri alterne interne, va rezulta că dreptele AB și DC sunt paralele.

Notez aceste relații cu 1 și 2.

Din 1 și 2 va rezulta că AB este paralelă cu DC,

așadar ABCD este un paralelogram.