Definiții.

Se numește direcție a dreptei d mulțimea formată din dreapta d și din toate dreptele paralele cu d.

Spunem că două segmente au aceeași direcție dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.

O pereche ordonată de puncte (A,B) din plan se numește segment orientat.

$Not. \overrightarrow{AB}$

A- se numește originea sau punctul de aplicație

B- se numește extremitatea segmentului orientat sau vârf.

Lungimea segmentului [AB] se numește modulul segmentului orientat.

$Not. \left|\overrightarrow{AB}\right| sau AB$

Două segmente orientate se numesc echipolente dacă au aceeasi mărime (modul), direcție și sens.

$Not. \overrightarrow{AB}~ \overrightarrow{ A`B`}$

Se numește vector mulțimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat dat.

Se numește versor sau vector unitate, vectorul având lungimea egală cu 1.

Doi vectori sunt egali dacă au aceeași mărime, direcție și sens.

Doi vectori sunt opuși dacă au aceeași mărime și direcție, dar sensuri opuse.

Adunarea vectorilor după regula paralelogramului

Se așează cei doi vectori astfel încât să aibă originea în același punct. Se constuiește un paralelogram ducând paralele la cei doi vectori prin vârfurile lor. Vectorul sumă va fi diagonala paralelogramului cu originea în originea comună a celor doi vectori. 

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

Adunarea vectorilor după regula triunghiului

Se așează al doilea vector cu originea în vârful primului vector. Vectorul sumă va fi vectorul cu originea în originea primului vector și cu extremitatea în extremitatea celui de-al doilea vector.

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

Adunarea vectorilor după regula poligonului

Se așează vectorii succesiv unul cu originea în vârful celuilalt. Vectorul sumă va fi vectorul cu originea în originea primului vector și cu extremitatea în extremitatea ultimului vector.

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$

Proprietățile adunării vectorilor

• Asociativitatea:

$\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b,} \overrightarrow{c}: \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

• Comutativitatea:

$\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}: \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

•  Elementul neutru- vectorul nul: 

$\forall \overrightarrow{a}: \overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}$

• Elementul opus (vectorul opus):

$\forall \overrightarrow{a}, \exists -\overrightarrow{a}, astfel încât: \overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}.$

Adunarea vectorilor după regula paralelogramului

Se așează cei doi vectori astfel încât să aibă originea în același punct. Se constuiește un paralelogram ducând paralele la cei doi vectori prin vârfurile lor. Vectorul sumă va fi diagonala paralelogramului cu originea în originea comună a celor doi vectori. 

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

Adunarea vectorilor după regula triunghiului

Se așează al doilea vector cu originea în vârful primului vector. Vectorul sumă va fi vectorul cu originea în originea primului vector și cu extremitatea în extremitatea celui de-al doilea vector.

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

Adunarea vectorilor după regula poligonului

Se așează vectorii succesiv unul cu originea în vârful celuilalt. Vectorul sumă va fi vectorul cu originea în originea primului vector și cu extremitatea în extremitatea ultimului vector.

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}+\overrightarrow{d}$

Proprietățile adunării vectorilor

• Asociativitatea:

$\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b,} \overrightarrow{c}: \left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)+\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\left(\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}\right)$

• Comutativitatea:

$\forall \overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}: \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}$

•  Elementul neutru- vectorul nul: 

$\forall \overrightarrow{a}: \overrightarrow{0}+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{0}=\overrightarrow{a}$

• Elementul opus (vectorul opus):

$\forall \overrightarrow{a}, \exists -\overrightarrow{a}, astfel încât: \overrightarrow{a}+(-\overrightarrow{a})=(-\overrightarrow{a})+\overrightarrow{a}=\overrightarrow{0}.$

Pentru a obține vectorul diferență, se așează cei doi vectori astfel încât să aibă originea comună. Vectorul diferență este vectorul având originea în extremitatea scăzătorului și vârful în extremitatea descăzutului.

$\overrightarrow{d}=\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}$

$$\begin{gathered} \mathrm{Fie} \mathrm{\alpha }\in \mathrm{ℝ}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vector}. \\ \mathrm{Produsul} \mathrm{\alpha }\overrightarrow{\mathrm{v}} \mathrm{este} \mathrm{un} \mathrm{vector} \mathrm{având}: \\ -\mathrm{aceeași} \mathrm{direcție} \mathrm{cu} \overrightarrow{\mathrm{v}} \\ -\mathrm{același} \mathrm{sens} \mathrm{cu} \overrightarrow{\mathrm{v}}, \mathrm{dacă} \mathrm{\alpha }>0 \mathrm{și} \mathrm{sens} \mathrm{contrar} \mathrm{dacă} \mathrm{\alpha }<0 \\ -\mathrm{modulul}: \left|\mathrm{\alpha }\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|=\left|\mathrm{\alpha }\right|·\left|\overrightarrow{\mathrm{v}}\right|. \end{gathered}$$

Proprietățile înmulțirii unui vector cu un scalar

$\mathrm{Fie} \mathrm{\alpha }, \mathrm{\beta }\in \mathrm{ℝ}; \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori}$

• Înmulțirea cu scalari este distributivă față de adunarea vectorilor

$\alpha (\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v})=\alpha \overrightarrow{u}+\alpha \overrightarrow{v}$

• Înmulțirea cu scalari este distributivă față de adunarea scalarilor

$\left(\alpha +\beta \right)\overrightarrow{u}=\alpha \overrightarrow{u}+\beta \overrightarrow{u}$

• Asociativitatea înmulțirii scalarilor

$\alpha \left(\beta \overrightarrow{u}\right)=\left(\alpha \beta \right)\overrightarrow{u}$

• Numărul 1 este element neutru pentru înmulțirea vectorilor cu scalari

$1·\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}.$

Cazuri particulare:

$$\begin{gathered} \alpha =0\Rightarrow 0·\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0} \\ \overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\Rightarrow \alpha ·\overrightarrow{0}=\overrightarrow{0}. \end{gathered}$$

Definiție. Doi vectori sunt coliniari dacă au aceeași direcție.

Condiția de coliniaritate a doi vectori

$\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}- coliniari \iff \exists \alpha \in \mathrm{ℝ}* a. î. \overrightarrow{u}=\alpha ·\overrightarrow{v}$

Condiția de coliniaritate a trei puncte

$A, B, C- coliniare \iff \exists \alpha \in \mathrm{ℝ}* a. î. \overrightarrow{AB}=\alpha \overrightarrow{AC}.$

O pereche ordonată de axe perpendiculare având aceeași origine formează un reper cartezian ortogonal. Punctul O se numește originea reperului. Axa Ox se numește axa absciselor, iar Oy axa ordonatelor. Pe cele două axe vom considera versorii

$\overrightarrow{i},\overrightarrow{ j}; \left|\overrightarrow{i}\right|=\left|\overrightarrow{j}\right|=1.$

Fie A și B două puncte în plan având coordonatele:

$A(x_A,y_A), B(x_B,y_B).$

Atunci vectorul $\overrightarrow{OA}$ se descompune după direcțiile date de cei doi versori astfel:

$\overrightarrow{OA}=x_A·\overrightarrow{i}+y_A·\overrightarrow{j}.$

Numerele $x_A, y_A$ se numesc coordonatele carteziene ale punctului A sau coordonatele vectorului $\overrightarrow{OA}$.

Vectorul $\overrightarrow{AB}$ se descompune după direcțiile date de cei doi versori astfel:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)·\overrightarrow{i}+(y_B-y_A)·\overrightarrow{j}.$

Modulul vectorului $\overrightarrow{AB}$ este:

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB= \sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$

Proprietăți

$$\begin{gathered} \mathrm{Fie} \mathrm{\alpha }, \mathrm{\beta }\in \mathrm{ℝ}, \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori} \mathrm{având} \mathrm{expresia} \mathrm{analitică}: \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}={\mathrm{x}}_1·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_1·\overrightarrow{\mathrm{j}} \\ \overrightarrow{\mathrm{v}}={\mathrm{x}}_2·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_2·\overrightarrow{\mathrm{j}} \end{gathered}$$

Au loc următoarele proprietăți:

$$\begin{gathered} \mathrm{\alpha }\overrightarrow{\mathrm{u}}=\mathrm{\alpha }\left({\mathrm{x}}_1·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_1·\overrightarrow{\mathrm{j}}\right)={\mathrm{\alpha x}}_1\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{\alpha y}}_1\overrightarrow{\mathrm{j}} \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}=\left({\mathrm{x}}_1·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_1·\overrightarrow{\mathrm{j}}\right)+\left({\mathrm{x}}_2·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_2·\overrightarrow{\mathrm{j}}\right)=\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\right)\overrightarrow{\mathrm{i}}+\left({\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2\right)\overrightarrow{\mathrm{j}} \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori} \mathrm{egali} \iff {\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2 \mathrm{și} {\mathrm{y}}_1={\mathrm{y}}_2 \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori} \mathrm{coliniari} \iff \frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{y}}_2}. \end{gathered}$$

Fie A și B două puncte în plan având coordonatele:

$A(x_A,y_A), B(x_B,y_B).$

Vectorul $\overrightarrow{OA}$ se descompune după direcțiile date de cei doi versori astfel:

$\overrightarrow{OA}=x_A·\overrightarrow{i}+y_A·\overrightarrow{j}.$

Numerele $x_A, y_A$ se numesc coordonatele carteziene ale punctului A sau coordonatele vectorului $\overrightarrow{OA}$.

Vectorul $\overrightarrow{AB}$ se descompune după direcțiile date de cei doi versori astfel:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)·\overrightarrow{i}+(y_B-y_A)·\overrightarrow{j}.$

Modulul vectorului $\overrightarrow{AB}$ este:

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB= \sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$

Proprietăți

$$\begin{gathered} \mathrm{Fie} \mathrm{\alpha }, \mathrm{\beta }\in \mathrm{ℝ}, \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori} \mathrm{având} \mathrm{expresia} \mathrm{analitică}: \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}={\mathrm{x}}_1·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_1·\overrightarrow{\mathrm{j}} \\ \overrightarrow{\mathrm{v}}={\mathrm{x}}_2·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_2·\overrightarrow{\mathrm{j}} \end{gathered}$$

Au loc următoarele proprietăți:

$$\begin{gathered} \mathrm{\alpha }\overrightarrow{\mathrm{u}}=\mathrm{\alpha }\left({\mathrm{x}}_1·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_1·\overrightarrow{\mathrm{j}}\right)={\mathrm{\alpha x}}_1\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{\alpha y}}_1\overrightarrow{\mathrm{j}} \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}=\left({\mathrm{x}}_1·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_1·\overrightarrow{\mathrm{j}}\right)+\left({\mathrm{x}}_2·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_2·\overrightarrow{\mathrm{j}}\right)=\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\right)\overrightarrow{\mathrm{i}}+\left({\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2\right)\overrightarrow{\mathrm{j}} \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori} \mathrm{egali} \iff {\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2 \mathrm{și} {\mathrm{y}}_1={\mathrm{y}}_2 \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori} \mathrm{coliniari} \iff \frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{y}}_2}. \end{gathered}$$

Definiție. Fie O un punct fixat în plan și A un alt punct din plan. Atunci vectorul $\overrightarrow{OA}$ se numește vector de poziție al punctului A.

Notație:

$\overrightarrow{r_A}$

Dacă A și B sunt puncte în plan, atunci are loc relația:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}.$

Vectorul de poziție al unui punct care împarte un segment într-un raport dat

$Fie M\in \left(AB\right), a. î. \frac{AM}{MB}=k>0.$

Are loc relația:

$\overrightarrow{r_M}=\frac{\overrightarrow{r_A}+k\overrightarrow{r_B}}{1+k}.$

În particular, dacă k = 1, atunci M este mijlocul segmentului [AB], iar vectorul de poziție al punctului M va fi:

$\overrightarrow{r_M}=\frac{\overrightarrow{r_A}+\overrightarrow{r_B}}{2}.$

Definiție. Fie O un punct fixat în plan și A un alt punct din plan. Atunci vectorul $\overrightarrow{OA}$ se numește vector de poziție al punctului A.

Notație:

$\overrightarrow{r_A}$

Dacă A și B sunt puncte în plan, atunci are loc relația:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{r_B}-\overrightarrow{r_A}.$

Vectorul de poziție al unui punct care împarte un segment într-un raport dat

$Fie M\in \left(AB\right), a. î. \frac{AM}{MB}=k>0.$

Are loc relația:

$\overrightarrow{r_M}=\frac{\overrightarrow{r_A}+k\overrightarrow{r_B}}{1+k}.$

În particular, dacă k = 1, atunci M este mijlocul segmentului [AB], iar vectorul de poziție al punctului M va fi:

$\overrightarrow{r_M}=\frac{\overrightarrow{r_A}+\overrightarrow{r_B}}{2}.$

Fie ABC un triunghi și G centrul de greutate al triunghiului (punctul de intersecție al medianelor). Vectorul de poziție al punctului G este:

$\overrightarrow{r_G}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{r_A}+\overrightarrow{r_B}+\overrightarrow{r_C}\right).$

Proprietate:

$G este centru de greutate al △ABC \iff \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}.$