Vectorul de poziție al unui punct (teorie)

În această lecție discutăm despre vectorul de poziție al unui punct.

Dacă avem în plan un punct O și un alt punct A, atunci vectorul având originea în punctul O și extremitatea în punctul A

se numește vector de poziție al punctului A sau vector legat de punctul O sau de polul O.

Acesta se notează cu R indice A.

Să considerăm acum un alt punct B în plan și să încercăm să exprimăm vectorul AB

cu ajutorul vectorilor de poziție ai punctelor A și B.

Vectorul de poziție al punctului B va fi OB, iată-l, acesta se notează cu R indice B.

Observăm așadar că vectorul AB este diferența dintre vectorii OB și OA.

Cu alte cuvinte, vectorul AB este egal cu vectorul de poziție al punctului B minus vectorul de poziție al punctului A.

Am găsit așadar o exprimare a vectorului AB în funcție de vectorii de poziție ai punctelor A și B.

Ne propunem în continuare să găsim o exprimare a vectorului de poziție al unui punct M care împarte un segment AB într-un raport dat.

Avem așadar un punct M care aparține segmentului AB

și ne propunem să găsim o expresie a vectorului de poziție al punctului M care împarte segmentul AB în raportul AM supra MB

egal cu K, unde K este un număr pozitiv.

Să desenăm așadar un segment AB și avem un punct oarecare M.

Fixăm în plan un punct O, iar OM va fi vectorul de poziție al punctului M.

R indice M.

Ne propunem să scriem acest vector RM în funcție de vectorii de poziție ai punctelor A și B.

Acesta este vectorul de poziție al punctului A, iar OB este vectorul de poziție al punctului B.

Dacă M este situat în interiorul segmentului AB, înseamnă că punctele AM și B sunt coliniare

și, de asemenea, vectorii AM și MB sunt coliniari.

Prin urmare, putem să scriem următoarea relație vectorială AM este egal cu K ori MB.

Dar AM se poate scrie în funcție de vectorii de poziție ai punctelor A și M astfel.

R indice M minus R indice A este egal cu K pe lângă.

Vectorul MB se poate scrie RB minus RM.

Acum o să desfacem aici paranteza.

Vectorul de poziție al punctului M minus vectorul de poziție al punctului A este egal cu K înmulțit cu vectorul de poziție al punctului B minus K ori vectorul de poziție al punctului M.

RM plus K ori RM este egal cu RA plus K ori RB.

Aici putem să dăm factor comun pe RM și avem RM pe lângă 1 plus K este egal cu RA plus K ori RB.

Din această relație putem să exprimăm vectorul de poziție al punctului M.

RM va fi egal cu RA plus K ori RB supra 1 plus K.

Am găsit așadar o expresie a vectorului de poziție al unui punct M care împarte un segment AB într-un raport dat K.

În cazul în care K este egal cu 1 atunci punctul M va fi mijlocul segmentului AB.

Să vedem ce expresie va avea vectorul de poziție al punctului M în cazul în care M este mijlocul segmentului.

Așadar în cazul în care K este egal cu 1 atunci punctul M este mijlocul segmentului AB.

Iar vectorul de poziție al punctului M se va scrie astfel.

Avem RA plus RB.

În această formulă înlocuim pe K cu 1 totul supra 2.

Să reținem așadar și această relație ce exprimă vectorul de poziție al unui punct M în cazul în care M este mijlocul segmentului AB.