Vectori în reper cartezian

416 vizualizări · 18 voturi

Concepte: Vectori

Raportează o problemă

Descrie pe scurt problema sau sugestia ta. Vom primi automat și pagina de pe care scrii.

Mulțumim!

Mesajul tău a ajuns la noi. Vom analiza problema cât de curând.

Fie A și B două puncte în plan având coordonatele:

$A (x_{A}, y_{A}), B (x_{B}, y_{B}) .$

Vectorul $\vec{O A}$ se descompune după direcțiile date de cei doi versori astfel:

$\vec{O A} = x_{A} \cdot \vec{i} + y_{A} \cdot \vec{j} .$

Numerele $x_{A}, y_{A}$ se numesc coordonatele carteziene ale punctului A sau coordonatele vectorului $\vec{O A}$ .

Vectorul $\vec{A B}$ se descompune după direcțiile date de cei doi versori astfel:

$\vec{A B} = (x_{B} - x_{A}) \cdot \vec{i} + (y_{B} - y_{A}) \cdot \vec{j} .$

Modulul vectorului $\vec{A B}$ este:

$|\vec{A B}| = A B = \sqrt{(x_{B} - x_{A})^{2} + (y_{B} - y_{A})^{2}} .$

Proprietăți

$Fie α, β \in ℝ, \vec{u}, \vec{v} - vectori având expresia analitică : \vec{u} = x_{1} \cdot \vec{i} + y_{1} \cdot \vec{j} \vec{v} = x_{2} \cdot \vec{i} + y_{2} \cdot \vec{j}$

Au loc următoarele proprietăți:

$α \vec{u} = α (x_{1} \cdot \vec{i} + y_{1} \cdot \vec{j}) = {αx}_{1} \vec{i} + {αy}_{1} \vec{j} \vec{u} + \vec{v} = (x_{1} \cdot \vec{i} + y_{1} \cdot \vec{j}) + (x_{2} \cdot \vec{i} + y_{2} \cdot \vec{j}) = (x_{1} + x_{2}) \vec{i} + (y_{1} + y_{2}) \vec{j} \vec{u}, \vec{v} - vectori egali \Leftrightarrow x_{1} = x_{2} și y_{1} = y_{2} \vec{u}, \vec{v} - vectori coliniari \Leftrightarrow \frac{x_{1}}{x_{2}} = \frac{y_{1}}{y_{2}} .$

Deschide pagina de teorie: Vectori în reper cartezian →

În acest clip o să facem câteva exerciții în care vom exprima niște vector cu ajutorul versorilor i și j.

Avem într-un reper cartezian următoarele puncte A de coordonate 1,2, B de coordonate minus 2,3 și C de coordonate 2, minus 1.

La punctul A se cere să determinăm coordonatele vectorului OA plus OB plus OC,

adică trebuie să scriem expresia analitică a acestui vector cu ajutorul versorilor i și j.

La B se cere să determinăm coordonatele vectorului 3AB plus 4AC plus BC,

iar la punctul C trebuie să calculăm modulul vectorilor AB și BC.

Am scris alăturat aceste două formule pe care o să le aplicăm în acest exercițiu și pe care le-am văzut în clipul anterior.

Vectorul AB are următoarea expresie analitică xB minus xA ori i plus yB minus yA ori j,

deci începem întotdeauna cu al doilea punct, cu abscisa punctului B.

Apoi modulul vectorului AB este radical din xB minus xA la pătrat plus yB minus yA la pătrat.

Începem așadar cu punctul A.

Pentru a determina coordonatele acestui vector vom scrie mai întâi fiecare vector cu ajutorul versorilor i și j.

Punctul O este originea sistemului de axe și el are coordonatele 0 și 0.

Să vedem mai întâi vectorul OA.

Aplicăm prima formulă. Începem cu abscisa celui de-al doilea punct, adică cu abscisa punctului A.

xA este 1, xO este 0 ori i plus

ordonata punctului A este 2, ordonata punctului O este 0 ori j.

1 ori i este i plus 2j.

Așadar, coordonatele vectorului OA sunt 1 și 2, adică aceși coeficienți ai versorilor i și j.

Să exprimăm acum vectorul OB cu ajutorul versorilor i și j.

Începem cu al doilea punct. Abscisa punctului B este minus 2.

Abscisa punctului O este 0 ori i plus

ordonata punctului B este 3, ordonata punctului O este 0

egal minus 2i plus 3j.

Iar vectorul OC, abscisa punctului C este 2, abscisa punctului O este 0

ordonata punctului C este minus 1, ordonata punctului O este 0

egal cu 2i minus j.

Acum adunăm acești 3 vectori, suma se va face pe componente

OA plus OB plus OC egal

vom înlocui fiecare vector cu expresia analitică scrisă mai sus

avem i plus 2j

apoi OB este minus 2i plus 3j

o să pun și aici o paranteză ca să evidenție mai clar fiecare vector

plus OC este 2i minus j

egal

acum adunăm coeficienții versorului i

avem 1 minus 2 plus 2 adică 1

urmează apoi 2j plus 3, 5, minus 1, 4

plus 4j

așadar expresia analitică a vectorului sumă

OA plus OB plus OC este i plus 4j

cu alte cuvinte coordonatele acestui vector sunt 1 și 4

am terminat punctul A, continuăm cu B

la B trebuie să determinăm coordonatele vectorului 3AB plus 4AC plus BC

mai întâi vom scrie expresiile analitice ale vectorilor AB, AC și BC

începem cu vectorul AB

aplicăm prima formulă

vectorul AC

începem cu abscisa punctului C

și vectorul BC

xul lui C este 2

xul lui B este minus 2

deci avem minus minus 2 ori i plus

yul lui C este minus 1

yul punctului B este 3

ori j egal

2 minus minus 2 este 4i

minus 1 minus 3 minus 4j

și acum să scriem vectorul 3AB

plus 4AC plus BC

egal cu 3 pe lângă

în loc de AB o să scriem expresia analitică de mai sus

minus 3i plus j

plus 4 pe lângă

în loc de AC avem i minus 3j

și plus BC adică 4i minus 4j

egal

desfacem parantezele

acest scalar se distribuie la fiecare versor în parte

o să avem minus 9i plus 3j

plus 4i minus 12j

plus 4i minus 4j

egal

minus 9 plus 4 este minus 5

plus 4 minus 1

deci avem minus i

apoi 3j minus 12 este minus 9

minus 4 minus 13j

iată am obținut și coordonatele acestui vector

acestea sunt minus 1 și minus 13

și la punctul C trebuie să calculăm modulul vectorilor AB și BC

o să încep cu modulul vectorului BC

și avem radical din

x-lui C este 2 minus

x-lui B este minus 2

o să scriu direct plus 2

la pătrat plus

y-lui C este minus 1 minus

y-lui B este 3

la pătrat

egal cu radical din

2 plus 2, 4 la a doua, 16

plus minus 4 la a doua, 16

egal cu radical din 2 ori 16

și egal cu 4 radical din 2

modulul vectorului AB

vă rămâne temă

trebuie doar să aplicați prima formulă

deci este foarte simplu gata!

Deschide transcriptul lecției: Vectori în reper cartezian →

Comentarii (0)

Autentifică-te pentru a lăsa un comentariu.

Niciun comentariu încă.