Noțiunea de vector

În lecția aceasta vom prezenta noțiunea de vector, iar pentru aceasta este necesar să definim câteva noțiuni introductive.

Dacă avem o dreaptă D pe care considerăm un segment AB, atunci dreapta D se va numi dreapta suport a segmentului.

Vom numi direcție a dreptei D mulțimea formată din dreapta D și din toate dreptele paralele cu D.

Deci două drepte au aceeași direcție dacă sunt paralele sau coincid.

Un alt segment CD are aceeași direcție cu AB dacă dreptele lor suport sunt paralele sau coincid.

Iată alte exemple de segmente având aceeași direcție, MN și PQ.

Ele au aceeași direcție deoarece dreptele lor suport sunt paralele.

Iar segmentele RS și TU au aceeași direcție pentru că dreptele lor suport coincid.

O dreaptă D poate fi parcursă în două sensuri, de la A la B sau de la B la A.

Prin urmare, pe segmentul AB avem definite două sensuri, iar acestea sunt sensuri opuse.

Un segment pe care am precizat și sensul de parcurgere se numește segment orientat.

De exemplu, dacă alegem sensul de la A la B, atunci vom indica acest lucru printr-o săgeată, astfel.

Și am obținut în acest mod reprezentarea geometrică a segmentului orientat AB.

Acesta se notează astfel, AB cu o săgeată deasupra.

Săgeata indică orientarea de la A la B.

Prin urmare, segmentul orientat AB nu este același lucru cu segmentul orientat BA,

deoarece aceste două segmente au sensuri diferite.

Punctul A se numește originea segmentului orientat sau punctul de aplicație,

iar B se numește extremitate sau vârf.

Am vorbit până acum despre direcția și sensul unui segment.

La un segment ne mai interesează și mărimea sau lungimea acestuia.

Așa cum știți, lungimea segmentului AB este distanța de la A la B.

Lungimea segmentului orientat AB se notează astfel, modul din AB egal cu AB.

Deci lungimea segmentului orientat sau modulul segmentului orientat este lungimea segmentului AB.

În continuare vom discuta despre segmente echipolente.

Două segmente orientate se numesc echipolente dacă au aceeași mărime, direcție și sens.

Iată un exemplu.

Avem aici mai multe segmente echipolente, AB, A'B', MN și CD.

Observăm că dreptele lor suport sunt paralele, prin urmare, aceste patru segmente au aceeași direcție.

De asemenea, ele au aceeași lungime și același sens.

Dacă segmentul AB este echipolent cu segmentul A'B', atunci vom nota acest lucru astfel.

Voi desena acum un alt segment care are aceeași lungime cu AB.

O să-l notez cu RS.

Aceeași direcție, însă observăm că cele două segmente au sensuri opuse.

Prin urmare, segmentele AB și RS nu vor fi segmente echipolente.

Acum o să desenez un alt segment pe Q care are aceeași direcție și sens cu AB.

Totuși, cele două segmente nu sunt echipolente pentru că observăm că acestea au mărimi diferite.

Prin urmare, segmentele echipolente din această figură sunt AB, A'B', MN și CD.

Și acum putem să trecem la noțiunea de vector.

Un vector este mulțimea tuturor segmentelor orientate echipolente cu un segment orientat dat.

Vom nota un vector cu ajutorul unui reprezentant al acestei mulțimi, de exemplu cu ajutorul segmentului AB.

Iată, acesta este vectorul AB.

Sau mai putem să-l notăm și astfel, V cu o săgeată deasupra.

Modulul sau mărimea sau norma vectorului AB este lungimea segmentului AB.

Vom nota astfel, modulul vectorului AB sau modulul vectorului V este lungimea segmentului AB.

În continuare discutăm despre vectorul NUL.

Vectorul NUL se notează cu 0 și o săgeată deasupra, iar acesta este vectorul având lungimea egală cu 0.

Prin urmare, modulul vectorului NUL va fi egal cu 0.

Deci originea acestui vector coincide cu extremitatea.

Un alt vector important este vectorul unitate.

Se mai numește versor sau vector unitar.

Putem să-l notăm cu I.

Modulul vectorului unitar este egal cu 1.

Așadar, vectorul unitate este vectorul având lungimea egală cu 1.

Mai trebuie să definim noțiunea de vectori egali.

Aceștia sunt vectorii care au aceeași direcție, mărime și același sens.

Prin urmare, doi vectori egali pot avea aceeași dreaptă-suport sau drepte-suport paralele.

Dacă vectorul V este egal cu vectorul U, vom nota acest lucru astfel.

Doi vectori sunt opuși dacă au aceeași direcție, mărime, dar sensuri opuse.

Să vedem și un exemplu, un grafic.

Pe această dreaptă-suport avem acest vector V

și un alt vector având aceeași direcție cu el, aceeași mărime, dar sensuri opuse.

Acesta este vectorul opus și se notează cu minus V.

La final, să reținem că un vector este o mulțime infinită de segmente orientate echipolente cu un segment dat.

În lecțiile ce urmează, majoritatea conceptelor geometrie vectoriale se vor introduce cu ajutorul reprezentanților vectorilor,

dar este incorrect să se identifice vectorul cu un singur reprezentant al său.