Descompunerea unui vector într-un reper cartezian

O pereche ordonată de axe perpendiculare având aceeași origine formează un reper cartezian ortogonal. Punctul O se numește originea reperului. Axa Ox se numește axa absciselor, iar Oy axa ordonatelor. Pe cele două axe vom considera versorii

$\overrightarrow{i},\overrightarrow{ j}; \left|\overrightarrow{i}\right|=\left|\overrightarrow{j}\right|=1.$

Fie A și B două puncte în plan având coordonatele:

$A(x_A,y_A), B(x_B,y_B).$

Atunci vectorul $\overrightarrow{OA}$ se descompune după direcțiile date de cei doi versori astfel:

$\overrightarrow{OA}=x_A·\overrightarrow{i}+y_A·\overrightarrow{j}.$

Numerele $x_A, y_A$ se numesc coordonatele carteziene ale punctului A sau coordonatele vectorului $\overrightarrow{OA}$.

Vectorul $\overrightarrow{AB}$ se descompune după direcțiile date de cei doi versori astfel:

$\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A)·\overrightarrow{i}+(y_B-y_A)·\overrightarrow{j}.$

Modulul vectorului $\overrightarrow{AB}$ este:

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB= \sqrt{(x_B-x_A{)}^2+(y_B-y_A{)}^2}.$

Proprietăți

$$\begin{gathered} \mathrm{Fie} \mathrm{\alpha }, \mathrm{\beta }\in \mathrm{ℝ}, \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori} \mathrm{având} \mathrm{expresia} \mathrm{analitică}: \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}={\mathrm{x}}_1·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_1·\overrightarrow{\mathrm{j}} \\ \overrightarrow{\mathrm{v}}={\mathrm{x}}_2·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_2·\overrightarrow{\mathrm{j}} \end{gathered}$$

Au loc următoarele proprietăți:

$$\begin{gathered} \mathrm{\alpha }\overrightarrow{\mathrm{u}}=\mathrm{\alpha }\left({\mathrm{x}}_1·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_1·\overrightarrow{\mathrm{j}}\right)={\mathrm{\alpha x}}_1\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{\alpha y}}_1\overrightarrow{\mathrm{j}} \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}+\overrightarrow{\mathrm{v}}=\left({\mathrm{x}}_1·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_1·\overrightarrow{\mathrm{j}}\right)+\left({\mathrm{x}}_2·\overrightarrow{\mathrm{i}}+{\mathrm{y}}_2·\overrightarrow{\mathrm{j}}\right)=\left({\mathrm{x}}_1+{\mathrm{x}}_2\right)\overrightarrow{\mathrm{i}}+\left({\mathrm{y}}_1+{\mathrm{y}}_2\right)\overrightarrow{\mathrm{j}} \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori} \mathrm{egali} \iff {\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2 \mathrm{și} {\mathrm{y}}_1={\mathrm{y}}_2 \\ \overrightarrow{\mathrm{u}}, \overrightarrow{\mathrm{v}}- \mathrm{vectori} \mathrm{coliniari} \iff \frac{{\mathrm{x}}_1}{{\mathrm{x}}_2}=\frac{{\mathrm{y}}_1}{{\mathrm{y}}_2}. \end{gathered}$$