Adunarea vectorilor (aplicații)

Salut! În lecția aceasta o să facem câteva aplicații. Iată, avem aceste puncte M, N, P, Q, R și cele patru cerințe.

La punctul A se cere să calculăm suma vectorilor MP plus PR plus RM. Iată vectorul MP, PR și RM.

Pentru a aduna acești trei vectori folosim regula poligonului. Rezultanta sau vectorul sumă se obține unind originea primului vector cu extremitatea ultimului vector.

Însă observăm că cele două puncte coincid. Pentru că originea primului vector este punctul M, iar extremitatea ultimului vector este de asemenea punctul M.

Așadar, rezultatul acestei sume este vectorul nul, dar haideți să și arătăm acest lucru.

MP plus PR plus RM

Știm că adunarea vectorilor este asociativă, prin urmare putem să adunăm primii doi vectori MP plus PR.

Folosim regula triunghiului, iar rezultatul acestei sume va fi vectorul M, R la care se adună vectorul RM.

Însă observăm că acești doi vectori sunt opuși, pentru că ei au aceeași direcție, același modul, dar sensuri contrare.

Prin urmare vectorul RM este opusul vectorului MR.

Avem MR plus minus MR. Așa se notează opusul vectorului MR.

Iar suma a doi vectori opuși este vectorul nul.

Am terminat cu punctul A, continuăm cu punctul B.

Trebuie să adunăm vectorul MP, iată-l, plus PQ plus QN plus NR.

Observăm că putem să aplicăm regula poligonului, deoarece fiecare vector, începând cu al doilea, are originea în extremitatea vectorului anterior.

Prin urmare aplicăm regula poligonului, iar rezultanta, sau vectorul sumă, va fi MR.

Rezultatul se obține unind originea primului vector, adică punctul M, cu extremitatea ultimului vector, adică punctul R.

Vectorul obținut va fi MR.

Trecem la punctul C.

Avem MP plus QN.

Știm că adunarea vectorilor este comutativă, prin urmare putem să inversăm ordinea acestor vectori și vom scrie QM plus MP.

Am făcut acest lucru pentru a putea aplica regula triunghiului, avem așadar vectorii QM și MP.

Vectorul sumă se obține unind punctul Q cu punctul P.

Mai exact, originea vectorului sumă va fi în punctul Q, iar extremitatea în punctul P.

Iată, rezultatul este vectorul QP.

Și punctul D.

Avem MP plus QN plus PQ plus NM.

Folosim și aici comutativitatea și asociativitatea adunării și grupăm vectorii astfel.

Mai întâi MP plus PQ plus QN plus NM.

MP plus PQ va avea ca rezultat vectorul MQ.

Iată-l, am folosit regula triunghiului.

Iar QN plus NM va avea ca rezultat vectorul QM.

Observăm că acești doi vectori, MQ și QM, sunt vectorii opuși.

Aceștia au aceeași direcție și același modul, dar sensuri contrare.

Prin urmare, vectorul QM este opusul vectorului MQ.

Vom scrie MQ plus minus MQ.

Iar suma a doii vectori opuși este vectorul 0.

Și mai facem încă un exercițiu.

Fie ABC de un dreptunghi, am notat cu O intersecția diagonalelor,

iar punctul M este mijlocul laturii AB.

La punctul A se cere să calculăm suma vectorilor DC,

iată-l, și BO.

Ca să putem aduna acești doi vectori după regula triunghiului, de exemplu,

a trebuit ca originea celui de-al doilea vector să coincidă cu extremitatea primului vector.

Dar observăm că vectorul DC este egal cu vectorul AB.

Cei doi vectori au același modul, aceeași direcție și același sens.

Prin urmare, în locul vectorului DC putem să scriem AB plus BO.

Acum putem să aplicăm aici regula triunghiului, iar rezultatul va fi vectorul AO.

Iată, vectorul sumă va avea originea în originea primului vector, adică punctul A,

și extremitatea în extremitatea celul de-al doilea vector, adică punctul O.

Trecem la punctul B.

Trebuie să adunăm vectorul AD cu vectorul AB și cu vectorul CA.

Putem să adunăm vectorii AD și AB folosind regula paralelogramului.

Dreptunghiul este tot un paralelogram, așadar suma acestor doi vectori va fi diagonala paralelogramului AC.

Prin urmare, avem AC plus CA.

Însă vectorul AC, iată-l, este opusul vectorului CA.

Aceștia au aceeași direcție, același modul, dar sensuri contrare.

Așadar avem minus CA plus CA.

Adunând doi vectori opuși obținem vectorul nul.

Continuăm cu punctul C.

Avem OA plus BO plus DC.

Vă las să vă gândiți până scriu eu.

Mai întâi folosim comutativitatea adunării și inversăm acești doi vectori.

Vom scrie egal cu BO plus OA.

Apoi observăm că vectorul DC este egal cu vectorul AB.

Iată.

Așadar vom scrie în continuare plus AB.

Pentru că acești doi vectori, DC și AB, sunt vectori egali.

Acum adunăm vectorii BO și OA.

Folosim regula triunghiului.

BO plus OA este egal cu vectorul BA.

Iată-l.

Și avem BA plus AB.

Dar BA și AB sunt vectorii opuși.

Vom scrie BA plus minus BA și egal cu vectorul nul.

Și continuăm cu punctul D.

Avem DA plus CB plus MD plus MC.

Puteți să vă gândiți până scriu eu.

Vom folosi comutativitatea și asociativitatea adunării și adunăm mai întâi acești doi vectori.

DA plus MD.

Apoi CB plus MC.

În paranteze inversăm ordinea vectorilor și avem MD plus DA plus MC plus CB.

Dar MD plus DA este egal cu MA.

Iar MC plus CB este egal cu MB.

Să nu uităm că punctul M este mijlocul segmentului AB.

Așadar vectorii MA și MB au același modul, aceeași direcție și sensuri contrare.

Așadar aceștia vor fi vectorii opuși.

În consecință avem MA plus minus MA.

Iar suma doi vectorii opuși este vectorul nul.

E bine să rețineți această observație.

Dacă avem un segment AB iar M este mijlocul segmentului, atunci acești doi vectori, MA și MB, sunt vectorii opuși iar rezultatul adunărilor va fi întotdeauna vectorul nul.