Adunarea vectorilor (teorie)

În această lecție o să discutăm despre adunarea vectorilor.

O primă metodă prin care putem să adunăm vectorii A și B este metoda paralelogramului.

Pentru aceasta vom translata cei doi vectori astfel încât aceștia să aibă aceiași origine.

Apoi, prin extremitatea vectorului A, vom construi o paralelă la direcția vectorului B.

Iar prin extremitatea vectorului B construim o paralelă la direcția vectorului A.

Observăm că s-a format astfel un paralelogram având ca laturi cei doi vectori A și B

iar diagonala paralelogramului va fi suma celor doi vectori A și B.

Iată, acest vector este vectorul sumă A plus B.

Să vedem și un alt exemplu.

Iată, avem acești doi vectori U și V.

O să-i translatăm astfel încât cei doi vectori să aibă aceiași origine.

Observăm că unghiul făcut de direcțiile acestor doi vectori este un unghi obtuz.

Procedăm ca și mai sus.

Aplicăm regula paralelogramului iar pentru aceasta vom construi, prin extremitatea vectorului U,

o paralelă la direcția vectorului V.

Iar prin extremitatea vectorului V, o paralelăm la direcția vectorului U.

Se formează astfel un paralelogram iar diagonala acestui paralelogram va fi suma vectorilor U și V.

Această regulă a paralelogramului se poate aplica doar atunci când avem doi vectori.

În cazul în care avem mai mulți vectori vom folosi regula triunghiului.

O să vedem această regulă pornind tot de la doi vectori.

Pentru a aplica metoda triunghiului o să translatăm vectorul B astfel încât originea acestuia să coincidă cu extremitatea vectorului A.

Iată.

Și acum unind originea vectorului A cu extremitatea vectorului B se obține vectorul sumă.

Acesta este vectorul sumă A plus B.

În cazul în care avem mai mulți vectori vom folosi această regulă a triunghiului extinsă.

De fapt ea se va numi regula poligonului.

Iată, avem patru vectori.

Mai întâi vom așeza vectorii B, C și D astfel încât originea acestora să coincidă cu extremitatea vectorului precedent.

Iată.

Și acum unind originea vectorului A cu extremitatea vectorului D se obține vectorul sumă.

Acest vector va fi suma vectorilor A, B, C și D.

Această regulă folosită se numește regula poligonului.

Să vedem în continuare care sunt proprietățile operației de adunare a vectorilor.

Adunarea vectorilor este asociativă.

Oricare ar fi trei vectori A, B și C are loc în această relație A plus B adunat cu C este egal cu A plus B plus C.

Deci putem să grupăm vectorii cum dorim, iar rezultatul sumei rămâne neschimbat.

Adunarea vectorilor este comutativă.

Vectorul A plus vectorul B este egal cu vectorul B plus vectorul A.

Există element neutru, vectorul nul.

Vectorul nul adunat cu vectorul A este egal cu vectorul A.

Și ultima proprietate a adunării, existența elementului opus.

Asta înseamnă că fiecare vector A are un opus notat cu minus A, astfel încât A adunat cu opusul său să dea vectorul nul.

O să vizualizăm aceste proprietăți pe un desen.

Avem în această figură trei vectori A, B și C.

Vectorul A este cel evidențiat cu roz, vectorul B este cu galben și vectorul C este cu albastru.

Vectorii AB și DC sunt reprezentanți ai vectorului A,

apoi vectorii sau segmentele orientate AD și BC sunt reprezentanți ai vectorului B,

iar vectorii AE, BF și CG sunt reprezentanți ai vectorului C.

Spuneam mai devreme că adunarea vectorilor este comutativă, așadar A plus B este egal cu B plus A.

Haideți să arătăm și pe figură acest lucru.

Mai întâi adunăm vectorii A și B.

Vom considera doi reprezentanțe ai acestora și anume adunăm vectorii AB și BC.

Vom folosi regula triunghiului, așadar suma acestor doi vectori va fi vectorul AC.

Pentru a aduna vectorii B și A vom lua în considerare alți reprezentanțe ai acestora.

Pentru a putea aplica regula triunghiului vom aduna vectorii AD și DC.

Observăm că dacă folosim regula triunghiului pentru a aduna acești doi vectori obținem același vector sumă AC.

Am arătat așadar că operația de adunare a vectorilor este comutativă.

Haideți să arătăm că această operație este asociativă.

Vrem să arătăm că vectorul A adunat cu vectorul B plus C este același lucru cu A plus B adunat cu C.

Pentru a aduna mai întâi vectorii B și C vom aduna reprezentanții acestora BC și CG.

Folosim regula triunghiului iar vectorul sumă va fi vectorul BG.

Acesta este suma vectorilor B și C.

Și acum trebuie să adunăm vectorul A cu această sumă.

Adunăm de exemplu vectorul AB cu BG și folosind regula triunghiului obținem vectorul AG.

Acesta va fi suma vectorilor A, B și C.

Și acum vrem să verificăm dacă adunând vectorii A, B și C în acest mod obținem același vector.

Haideți să adunăm acum vectorii A și B cu vectorul C.

Observăm că avem deja suma vectorilor A și B.

Acesta este vectorul AC.

Mai trebuie să adunăm acest vector cu vectorul C.

Așadar vom aduna vectorul AC cu CG.

Folosind regula triunghiului obținem AG.

Așadar observăm că același vector AG este și suma vectorilor A plus B plus C adunați în acest mod.

Am arătat astfel că adunarea vectorilor este asociativă.

Și o altă proprietate era existența elementului opus.

Haideți să vizualizăm și această proprietate.

Avem vectorul A și opusul acestuia minus A.

Vă reamintez că doi vectori sunt opuși dacă au aceeași direcție, aceeași mărime, dar sensuri opuse.

Pentru a aduna acești doi vectori după regula triunghiului ar trebui să așezăm vectorul minus A cu originea în extremitatea primului vector.

Deci punctul B prim ar coincide cu punctul B.

Dar cei doi vectori au aceeași mărime.

Prin urmare și punctul A prim coincide cu punctul A.

Ca să adunăm cei doi vectori după regula triunghiului ar trebui să unim originea primului vector, adică punctul A, cu extremitatea celul de-al doilea vector.

Așadar ar trebui să unim punctele A și A prim care coincid.

Așadar adunând cei doi vectori obținem vectorul nul.

Prin urmare să reținem că orice vector A are un opus notat cu minus A, iar adunând acești doi vectori se obține vectorul nul.

În secvența următoare vom face câteva exerciții.