Vectorul de poziție al centrului de greutate al unui triunghi

În această lecție o să discutăm despre vectorul de poziție al centrului de greutate al unui triunghi.

Începem cu următoarea teoremă.

Medianele unui triunghi ABC sunt concurente într-un punct numit centrul de greutate al triunghiului,

care se află pe fiecare mediană, la două trăime de vârf și o trăime de bază.

În triunghiul ABC am notat cu M, N și P mijloacele laturilor acestuia,

iar cu G am notat punctul de intersecție al medianelor.

Punctul acesta, G, se numește centrul de greutate al triunghiului,

iar el este situat pe fiecare mediană la două trăime de vârf și o trăime de bază.

Prin urmare, lungimea segmentului AG este două trăimi din lungimea segmentului AM,

iar GM este o trăime din AM, așadar AG supra GM este egal cu 2.

Următoarea teoremă se referă la vectorul de poziție al centrului de greutate al triunghiului.

Are loc această relație vectorul de poziție al punctului G este 1 pe 3

din vectorul de poziție al punctului A plus vectorul de poziție al punctului B plus vectorul de poziție al punctului C.

Vom alege în plan un punct O și vom construi vectorii de poziție ai punctelor A, B, C și G.

Iată, OA este vectorul de poziție al punctului A, OB este vectorul de poziție al punctului B și așa mai departe.

Și acum, haideți să demonstrăm această relație.

Pornim de la această relație AG supra GM este egal cu 2.

Și atunci vectorul de poziție al punctului G se poate scrie astfel

egal cu vectorul de poziție al punctului A plus 2 ori vectorul de poziție al punctului M supra 1 plus 2.

Și acum să exprimăm vectorul de poziție al punctului M, ținând cont de faptul că M este mijlocul segmentului BC.

Prin urmare, vectorul de poziție al punctului M va fi semisuma vectorilor de poziție ai punctelor B și C, RB plus RC supra 2.

Și acum înlocuim această expresie în relația de mai sus.

Din aceste două relații obținem că vectorul de poziție al punctului G este egal cu vectorul de poziție al punctului A plus 2 ori.

În loc de RM scriem formula de mai jos RB plus RC supra 2 și totul supra 1 plus 2, 3.

Aici se simplifică 2 și obținem că vectorul de poziție al punctului G va fi egal cu RA plus RB plus RC totul supra 3.

Așadar am demonstrat această teoremă și în continuare să vedem o proprietate a centrului de greutate al triunghiului.

G este centrul de greutate al triunghiului dacă și numai dacă suma vectorilor GA, GB și GC este egală cu vectorul 0.

Vom demonstra această proprietate în ambele sensuri, mai întâi implicația directă.

Presupunem că G este centrul de greutate și trebuie să arătăm că suma acestor vector este egală cu vectorul 0.

Așadar știm că G este centrul de greutate, prin urmare putem să scriem că vectorul de poziție al punctului G este 1 pe 3 pe lângă RA plus RB plus RC.

Adică 3 ori RG este egal cu RA plus RB plus RC sau RA plus RB plus RC minus 3RG este egal cu vectorul 0.

Această relație se mai poate scrie și astfel RA minus RG plus RB minus RG plus RC minus RG egal cu vectorul 0.

Și acum dacă ne uităm pe figură observăm că RA minus RG este egal cu vectorul GA, apoi RB minus RG este egal cu vectorul GB, iar RC minus RG este egal cu vectorul GC.

Am obținut așadar că suma acestor vectori este egală cu vectorul 0.

Prin urmare am arătat că implicația directă este adevărată și acum să vedem și reciproc.

Presupunem că are loc această relație și trebuie să demonstrăm că G este centrul de greutate al triunghiului.

Adică trebuie să demonstrăm că punctul G este situat pe fiecare mediană.

Notăm cu M mijlocului BC, N mijlocului AC și P mijlocului AB.

Observăm că GB este suma vectorilor GM și MB, apoi vectorul GC se poate scrie ca suma vectorilor GM și MC,

iar GA este suma vectorilor GM și MA.

Acum adunăm aceste trei relații membru cu membru și obținem că GA plus GB plus GC este egal cu 3 ori GM plus MB plus MC plus MC. Apoi adunăm MA.

Știm din ipoteză că această sumă este egală cu vectorul 0.

Apoi, din moment ce punctul M este mijlocul segmentului BC, înseamnă că vectorii MB și MC sunt vectori opuși,

prin urmare suma acestor doi vectori va fi egală cu vectorul 0.

Această sumă este egală cu vectorul 0 din ipoteză și atunci avem 3GM plus MA este egal cu vectorul 0 sau 3GM este egal cu minus MA.

Dar opusul vectorului MA este vectorul AM.

Din moment ce am ajuns la această relație 3GM este egal cu AM, înseamnă că vectorii GM și AM sunt vectori colineari, așadar punctul G aparține segmentului AM.

Am arătat astfel că punctul G este situat pe mediana AM.

În mod analog se arată că punctul G este situat pe mediana BN și G aparține și segmentului CP.

Așadar am arătat că punctul G este centrul de greutate al triunghiului, el fiind punctul de intersecție al medianelor.