Triunghiul este figura geometrică obținută prin reuniunea segmentelor [AB], [BC], [CA], unde A, B, C sunt trei puncte necoliniare (un triunghi este un poligon cu 3 laturi).

Elementele unui triunghi:

• laturile: [AB], [BC], [CA]
• unghiurile: <ABC,  <BCA, <BAC
• vârfurile: A, B, C.

Notație:

$△ABC$

Proprietate. În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este egală cu 180°.

Perimetrul (P) unui triunghi este suma lungimilor laturilor.

P = AB+BC+CA

Semiperimetrul (s) unui triunghi este semisuma lungimilor laturilor.

s = (AB+BC+CA):2 = P:2

Exemplu:

$$\begin{gathered} P_{△ABC}=2+3+4=9 cm \\ {s}_{△ABC}=\frac{9}{2}=4,5 cm \end{gathered}$$

Unghiul exterior unui triunghi este unghiul adiacent și suplementar cu un unghi al triunghiului.

Exemplu:

$\measuredangle ACD- exterior △ABC$

 

 

 

 

Triunghiul

Triunghiul este figura geometrică dată de reuniunea segmentelor închise determinate de trei puncte distincte necoliniare. Este una dintre formele poligonale fundamentale ale geometriei.



Triunghiul este o figură plană închisă, formată din trei laturi și trei vârfuri. Cele trei laturi ale unui triunghi sunt segmente, iar vârfurile sunt punctele de intersecție ale laturilor.

Vârfurile unui triunghi se notează cu litere mari: A, B, C, M, N, … iar triunghiul se notează ținând cont de cele trei vârfuri.

Cele trei laturi ale triunghiului sunt segmentele AB, BC și AC, care se pot nota și cu litere mici, ținându-se seama de vârful opus. Astfel, latura AB se opune vârfului C și aceasta se va nota cu litera c. Latura BC se opune vârfului A și o vom nota cu a, iar latura AC se opune vârfului B și o vom nota cu b.

Fiecare pereche de laturi ale triunghiului formează un unghi interior, prin urmare un triunghi are trei unghiuri interioare. Cele trei unghiuri ale triunghiului ABC sunt: ∡ABC (sau mai simplu ∡B), ∡BAC (sau ∡A), ∡ACB (sau ∡C).

[ A B ] ∪ [ B C ] ∪ [ C A ] = △ [ A B C ]

• punctele A, B, C se numesc vârfurile triunghiului.
• [AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului.
• ∠ B A C , ∠ A B C , ∠ A C B se numesc unghiurile (interne) triunghiului.

Clasificarea triunghiurilor

Clasificarea triunghiurilor se face:
 

• în funcție de lungimile laturilor
•  după felul unghiurilor

1. Clasificarea triunghiurilor în funcție de laturi

În funcție de lungimile laturilor, triunghiurile pot fi:
 

• triunghi oarecare (scalen) – are laturile de lungimi diferite;
• triunghi isoscel – are două laturi congruente; cea de-a treia latură se numește bază;
• triunghi echilateral – are toate cele trei laturi congruente.

Definiții:

Un triunghi cu toate laturile congruente se numește triunghi echilateral.
Un triunghi cu două laturi congruente se numește triunghi isoscel.
Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi scalen (sau oarecare).

2. Clasificarea triunghiurilor în funcție de unghiuri

În funcție de măsurile unghiurilor, triunghiurile pot fi:

• triunghi dreptunghic – are un unghi drept (de 90 grade); laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză;
• triunghi ascuțitunghic – are toate unghiurile ascuțite (mai mici de 90 grade);
• triunghi obtuzunghic – are un unghi obtuz (mai mare de 90 grade).

Definiții:

Triunghiul cu toate unghiurile ascuțite este numit triunghi ascuțitunghic.
Dacă unul dintre unghiuri este drept, triunghiul este denumit dreptunghic.
Triunghiul cu un unghi mai mare de 900 se numește triunghi obtuzunghic.

Proprietățile triunghiurilor:

Proprietatea 1. În orice triunghi, suma măsurilor unghiurilor este de 180°.


Proprietatea2. Un unghi exterior unui triunghi are măsura egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare, neadiacente cu el.

Un unghi exterior unui triunghi este unghiul format de o latură a triunghiului cu prelungirea altei laturi.
Un triunghi are șase unghiuri exterioare. Fiecare unghi exterior este suplementul unghiului interior alăturat.

Reguli, proprietăți, teoreme aplicabile

• În orice triunghi suma măsurilor unghiurilor interne este de 180°.
• Un triunghi are șase unghiuri externe, congruente două câte două.
• Într-un triunghi isoscel unghiurile alăturate bazei sunt congruente.
• Într-un triunghi dreptunghic unghiurile ascuțite sunt complementare.
• Într-un triunghi dreptunghic lungimea ipotenuzei este mai mare decât oricare din lungimile celor două catete.
• Într-un triunghi oarecare, laturii mai mari i se opune un unghi mai mare decât cel care se opune laturii mai mici.
•  Într-un triunghi ascuțitunghic centrul cercului circumscris se găsește în interiorul triunghiului.
• Într-un triunghi obtuzunghic centrul cercului circumscris se găsește în exteriorul triunghiului.
• Într-un triunghi dreptunghic centrul cercului circumscris coincide cu mijlocul ipotenuzei.
• Cercul înscris într-un triunghi intersectează (atinge) fiecare latură într-un singur punct, numit punct de tangență.
• Într-un triunghi se pot construi trei linii mijlocii.
• Într-un triunghi linia mijlocie este paralelă cu cea de-a treia latură a triunghiului, și are lungimea egală cu jumătate din lungimea acesteia.
• Triunghiul având ca laturi cele trei linii mijlocii dintr-un triunghi se numește triunghi median.
• Ortocentrul (punctul de intersecție al celor trei înălțimi) unui triunghi ascuțitunghic se găsește în interiorul triunghiului.
• Ortocentrul unui triunghi obtuzunghic se găsește în exteriorul triunghiului.
• Ortocentrul unui triunghi dreptunghic coincide cu vârful unghiului drept.
• Teorema lui Thales: în orice triunghi, o paralelă dusă la una din laturi împarte celelalte două laturi, sau prelungirile acestora, în segmente proporționale.
• Reciproca Teoremei lui Thales: în orice triunghi, dacă o dreaptă determină pe două laturi, sau pe prelungirile acestora, segmente proporționale, atunci ea este paralelă cu a treia latură.
• Teorema bisectoarei: bisectoarea unui unghi al unui triunghi oarecare determină pe latura opusă segmente proporționale cu laturile care formează unghiul.
• Teorema lui Pitagora: într-un triunghi dreptunghic, suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei.
•  Teorema lui Pitagora generalizată: într-un triunghi oarecare, pătratul unei laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi minus de două ori produsul lor multiplicat cu cosinusul unghiului dintre ele.[3]
• Teorema lui Ceva: într-un triunghi oarecare ABC, dacă D, E, F sunt trei puncte diferite de vârfurile triunghiului, aflate respectiv pe laturile acestuia [BC], [CA], [AB], dreptele AD, BE și CF sunt concurente dacă și numai dacă: D B D C . E C E A . F A F B = 1
• Teorema lui Cesàro: într-un triunghi cu laturile a, b, c, are loc relația: m a 4 + m a 4 + m c 4 = 9 16 ( a 4 + b 4 + c 4 ), unde ma, mb și mc sunt lungimile medianelor.[5]
•  Într-un triunghi oarecare, măsura unui unghi exterior triunghiului este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare nealăturate. Un unghi exterior unui triunghi este mai mare decât oricare din unghiurile interne nealăturate.

 

Apotema triunghiului echilateral

Triunghiul echilateral

Triunghiul echilateral reprezintă triunghiul cu toate laturile de lungime egală (congruente). În geometria euclidiană triunghiul echilateral este de asemenea echiangular (toate cele trei unghiuri interne sunt egale între ele) și poligon regulat.



∆ABC echilateral ⟹ AB≡AC≡BC.




Apotema este:


 \(a=\frac{l\sqrt{3}}{6} \left ( a=\frac{R}{2} \right )\)

Triunghiul dreptunghic



Un triunghi dreptunghic este triunghiul care are un unghi drept (π/2 radiani sau 90°). Latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză și este cea mai mare. Celelalte două laturi se numesc catete.

Proprietățile triunghiului dreptunghic

• Suma celor două unghiuri ascuțite este egală cu 90°.(unghiurile ascuțite sunt complementare \(B\widehat{}+C\widehat{}=90^{0}\))
• Lungimea medianei corespunzătoare ipotenuzei este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.
• Orice triunghi dreptunghic se înscrie într-un cerc cu centrul la mijlocul ipotenuzei.
• Orice triunghi dreptunghic are ortocentrul în vârful unghiului drept.
• Dacă un triunghi dreptunghic are un unghi cu măsura de 30 de grade, atunci cateta opusă acestui unghi este jumătate din ipotenuză.

Teoremele înălțimii



Prima teoremă a înălțimii

Într-un triunghi dreptunghic, lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este media geometrică a lungimilor proiecțiilor catetelor pe ipotenuză.

\(CD=\sqrt{AD\cdot BD}\)   sau
\(CD^{2}=AD\cdot BD\)

unde CD este înălțimea corespunzatoare ipotenuzei, iar AD și BD sunt proiecțiile catetelor pe ipotenuză (v. figura de mai sus).

A doua teoremă a înălțimii

Produsul înălțimii corespunzătoare ipotenuzei cu ipotenuza este egal cu produsul catetelor, adică dacă ABC este un triunghi dreptunghic cu C=90° (v. figura alăturată), iar CD este perpendiculara pe AB. Există relația:

\(CD\cdot AB=AC\cdot BC\)

Teorema catetei

În triunghiul dreptunghic fiecare catetă este egală cu media geometrică dintre ipotenuză și proiecția catetei pe ipotenuză.

Fie triunghiul ABC cu C=90° și CD perpendiculara pe AB (v. figurile de mai sus). Există relația:

    \(BC^{2}=AB\cdot BD\)    sau
   \(BC=\sqrt{AB\cdot BD}\)

Unghiuri

Teorema unghiului de 45°

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 45° lungimea înălțimii corespunzătoare ipotenuzei este jumătate din ipotenuză.

Teorema unghiului de 30°

Într-un triunghi dreptunghic ce are un unghi de 30°, lungimea catetei ce se opune acestui unghi este egală cu jumătate din lungimea ipotenuzei.

Teorema unghiului de 15°

Într-un triunghi dreptunghic cu un unghi de 15°, lungimea înălțimii opuse unghiului de 15° este un sfert din lungimea ipotenuzei.

Formule de calcul ale ariei

Într-un triunghi dreptunghic aria este egală cu semiprodusul catetelor.

 Dacă notăm cele două catete cu c1 și c2, atunci formula pentru arie este semiprodusul catetelor:

\(A = \frac{{c_{1}}\cdot{c_{2}}}{2}\)

Dacă notăm cu i – ipotenuza triunghiului și cu h – înălțimea corespunzătoare ei, atunci aria triunghiului se calculează folosind formula:

\(A = \frac{{i}\cdot{h}}{2}\)

Teorema lui Pitagora



Teorema lui Pitagora: „suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenuzei”. Aceasta poate fi reprezentată în triunghiul dreptunghic ABC, AB fiind ipotenuza, iar C unghiul drept (v. notațiile din figurile de mai sus). Teorema lui Pitagora spune că:

\(AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}\)

Triunghiul echilateral

Triunghiul echilateral reprezintă triunghiul cu toate laturile de lungime egală (congruente). În geometria euclidiană triunghiul echilateral este de asemenea echiangular (toate cele trei unghiuri interne sunt egale între ele) și poligon regulat.



∆ABC echilateral ⟹ AB≡AC≡BC.

Proprietățile triunghiului echilateral

Proprietatea 1. Triunghiul echilateral are toate unghiurile congruente, având fiecare măsura egală cu 60° (180°:3=60°).



∡A=∡B=∡C=60°.

Proprietatea 2. Într-un triunghi echilateral, toate liniile importante care pornesc din același vârf coincid (bisectoarele unghiurilor coincid cu înălțimile, medianele și mediatoarele). Acestea sunt și axe de simetrie.

Triunghiul echilateral are cele mai multe axe de simetrie dintre triunghiuri.

• medianele sunt și mediatoare, bisectoare și înălțimi;
• înălțimea h este: \(h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot l\)
• mijloacele laturilor formează un alt triunghi echilateral;
• raza cercului circumscris este: \(R=\frac{l\sqrt{3}}{3} \left ( l=R\sqrt{3} \right )\)
• apotema este:  \(a=\frac{l\sqrt{3}}{6} \left ( a=\frac{R}{2} \right )\)

Proprietatea 3. Într-un triunghi echilateral, centrul cercului circumscris coincide cu centrul cercului înscris, cu ortocentrul și cu centrul de greutate (notat pe figură cu O).

Triunghiul echilateral moștenește toate proprietățile triunghiului isoscel.
Un triunghi isoscel care are un unghi de 60° este triunghi echilateral.

Perimetrul triunghiului echilateral

Dacă notăm laturile triunghiului cu l: AB=AC=BC=l, atunci perimetrul triunghiului ABC va fi:

\(P=3l\)

De asemenea:

\(P=3R\sqrt{3}\)
\(P=6r\sqrt{3}\)

Aria triunghiului echilateral

\(A=\frac{l^{2}\sqrt{3}}{4}\) ,  l fiind lungimea laturii triunghiului


Criterii de recunoaștere a unui triunghi echilateral

• Un triunghi isoscel cu un unghi de 60 de grade este echilateral.
• Triunghiul în care cel puțin două dintre cele patru centre (de greutate, ortocentru, centrul cercului înscris, centrul cercului circumscris) coincid este echilateral.

Construcția geometrică

Triunghiul echilateral se poate construi folosind numai rigla și compasul. Se trasează un cerc de rază r, se plasează vârful compasului într-un punct de pe cerc și se desenează un cerc de aceeași rază. Cele două cercuri se intersectează în două puncte. Prin unirea celor două centre ale cercurilor cu unul din punctele de intersecție ale celor două cercuri se obține un triunghi echilateral.

Triunghiul isoscel

Triunghiul isoscel este triunghiul care are două laturi congruente. A treia latură se numește baza.


Proprietatile triunghiului isoscel

Proprietatea 1. Într-un triunghi isoscel, unghiurile alăturate bazei sunt congruente.

Reciproc: Dacă un triunghi are două unghiuri congruente atunci el este isoscel.

Proprietatea 2. Într-un triunghi isoscel, bisectoarea unghiului opus bazei este și înălțime, mediană și mediatoare.

Oricare (ar fi un) triunghi isoscel, mediatoarea bazei triunghiului este și axa de simetrie a triunghiului.
Înălțimea corespunzătoare bazei este și mediana, și mediatoare, și bisectoare a unghiului opus bazei.

Proprietatea 3. Într-un triunghi isoscel, bisectoarele unghiurilor congruente sunt congruente.

Proprietatea 4. Într-un triunghi isoscel, medianele corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.

Proprietatea 5. Într-un triunghi isoscel, înălțimile corespunzătoare laturilor congruente sunt congruente.

Un triunghi isoscel cu un unghi de măsura de 60° este echilateral.

Medianele, bisectoarele și înălțimile duse din vârfurile bazei nu coincid, decât în cazul triunghiului echilateral.Dacă într-un triunghi una dintre cele trei mediane este și mediatoare sau înălțime sau bisectoare, atunci triunghiul este isoscel.

Triunghi oarecare

Triunghiul este o figură plană închisă, formată din trei laturi și trei vârfuri. Cele trei laturi ale unui triunghi sunt segmente, iar vârfurile sunt punctele de intersecție ale laturilor.
 

• punctele A, B, C se numesc vârfurile triunghiului.
• [AB], [BC], [AC] se numesc laturile triunghiului.
• ∠ B A C , ∠ A B C , ∠ A C B se numesc unghiurile (interne) triunghiului.

Un triunghi care are laturile de lungimi diferite se numește triunghi oarecare (sau scalen).



Proprietați:

Într-un triunghi oarecare, laturii mai mari i se opune un unghi mai mare decât cel care se opune laturii mai mici.

Într-un triunghi oarecare, măsura unui unghi exterior triunghiului este egală cu suma măsurilor unghiurilor interioare nealăturate. Un unghi exterior unui triunghi este mai mare decât oricare din unghiurile interne nealăturate.

Aria triunghiului oarecare

Formula lui Heron

În geometrie, formula lui Heron, este o expresie matematică prin care se poate calcula suprafața unui triunghi oarecare fiind date cele trei laturi.



Dacă ABC este un triunghi oarecare, cu laturile a, b și c, atunci suprafața sa este dată de formula:
 
 

A. Clasificarea triunghiurilor după laturi

• triunghi oarecare (scalen)- are laturile de lungimi diferite (fig. 1)
• triunghi isoscel- are două laturi congruente (fig. 2)
• triunghi echilateral- are toate cele trei laturi congruente (fig.3).

B. Clasificarea triunghiurilor după unghiuri

• triunghi dreptunghic- are un unghi drept (cu măsura de 90°); laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză (fig. 4)
• triunghi ascuțitunghic- are toate unghiurile ascuțite (cu măsura mai mică de 90°) (fig. 5)
• triunghi obtuzunghic- are un unghi obtuz (cu măsura mai mare de 90°) (fig. 6).

Fiind date două triunghiuri ABC și A'B'C', spunem că acestea sunt triunghiuri congruente, dacă au toate laturile și toate unghiurile respectiv congruente:

$$\begin{gathered} \overline{)\left[AB\right]\equiv \left[A`B`\right], \left[BC\right]\equiv \left[B`C`\right], \left[AC\right]\equiv \left[A`C`\right] \\ \measuredangle A\equiv \measuredangle A`, \measuredangle B\equiv \measuredangle B`, \measuredangle C\equiv \measuredangle C`}\Rightarrow △ABC\equiv △A`B`C` \end{gathered}$$

Două triunghiuri sunt congruente dacă ele coincid prin suprapunere.

Pentru a arăta că două triunghiuri sunt congruente, nu trebuie să demonstrăm toate cele 6 relații de congruență între elementele lor. Este suficient să demonstrăm doar 3 dintre acestea, folosind unul din cazurile de congruență enunțate mai jos.

Cazurile de congruență ale triunghiurilor oarecare

1. Cazul L.U.L (latură, unghi, latură)

Două triunghiuri oarecare, care au câte două laturi și unghiurile dintre ele respectiv congruente, sunt congruente.

2. Cazul U.L.U (unghi, latură, unghi)

Două triunghiuri oarecare, care au câte o latură și unghiurile alăturate ei respectiv congruente, sunt congruente.

3. Cazul L.L.L (latură, latură, latură)

Două triunghiuri oarecare, care au toate cele trei laturi respectiv congruente, sunt congruente.

Observație. După ce am demonstrat congruența a două triunghiuri, putem deduce o relație de congruență între celelalte elemente, ținând cont de faptul că unghiurilor congruente li se opun laturi congruente, iar laturilor congruente li se opun unghiuri congruente.

 

1. Cazul L.U.L (latură, unghi, latură)

Două triunghiuri oarecare, care au câte două laturi și unghiurile dintre ele respectiv congruente, sunt congruente.

2. Cazul U.L.U (unghi, latură, unghi)

Două triunghiuri oarecare, care au câte o latură și unghiurile alăturate ei respectiv congruente, sunt congruente.

3. Cazul L.L.L (latură, latură, latură)

Două triunghiuri oarecare, care au toate cele trei laturi respectiv congruente, sunt congruente.

Observație. După ce am demonstrat congruența a două triunghiuri, putem deduce o relație de congruență între celelalte elemente, ținând cont de faptul că unghiurilor congruente li se opun laturi congruente, iar laturilor congruente li se opun unghiuri congruente.

Două drepte concurente sunt perpendiculare, dacă formează un unghi drept.

$a\perp b\iff m(\measuredangle a,b)=90°$

Observație. Dintr-un punct exterior unei drepte se poate duce o singură perpendiculară pe acea dreaptă.

Distanța de la un punct la o dreaptă este segmentul care unește punctul cu piciorul perpendicularei duse din acel punct pe dreaptă.

Exemplu:

$MO\perp d$

Distanța de la punctul M la dreapta d este MO și scriem: d(M, d) = MO.

Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului.

1. Cazul C.C. (catetă, catetă)

Două triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente, sunt congruente.

2. Cazul C.U. (catetă, unghi)

Două triunghiuri dreptunghice care au o catetă și un unghi ascuțit respectiv congruente, sunt congruente.

3. Cazul I.U. (ipotenuză, unghi)

Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuza și un unghi ascuțit respectiv congruente, sunt congruente.

4. Cazul I.C (ipotenuză, catetă)

Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuza și o catetă respectiv congruente, sunt congruente.

 

 

Un triunghi dreptunghic este un triunghi care are un unghi drept (cu măsura de 90°). 

Laturile care formează unghiul drept se numesc catete, iar latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză.

În triunghiul de mai jos, catetele sunt [AB] și [AC], iar ipotenuza este [BC].

Pentru a demonstra că două triunghiuri dreptunghice sunt congruente, folosim unul din cazurile de mai jos.

Cazurile de congruență ale triunghiurilor dreptunghice

1. Cazul C.C. (catetă, catetă)

Două triunghiuri dreptunghice care au catetele respectiv congruente, sunt congruente.

2. Cazul C.U. (catetă, unghi)

Două triunghiuri dreptunghice care au o catetă și un unghi ascuțit respectiv congruente, sunt congruente.

3. Cazul I.U. (ipotenuză, unghi)

Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuza și un unghi ascuțit respectiv congruente, sunt congruente.

4. Cazul I.C (ipotenuză, catetă)

Două triunghiuri dreptunghice care au ipotenuza și o catetă respectiv congruente, sunt congruente.

 

 

 

Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului.

$$\begin{gathered} \overline{)MO\perp AB \\ \left[AO\right]\equiv \left[OB\right]}\Rightarrow MO-mediatoarea \left[AB\right] \end{gathered}$$

 

Proprietatea mediatoarei unui segment

Teoremă. Un punct aparține mediatoarei unui segment dacă și numai dacă este egal depărtat de extremitățile segmentului.

• dacă MO este mediatoare, atunci MA=MB, și reciproc:
• dacă MA=MB, atunci MO este mediatoarea segmentului [AB].

 

Mediatoarea unui segment este perpendiculara dusă prin mijlocul segmentului.

$$\begin{gathered} \overline{)MO\perp AB \\ \left[AO\right]\equiv \left[OB\right]}\Rightarrow MO-mediatoarea \left[AB\right] \end{gathered}$$

 

Proprietatea mediatoarei unui segment

Teoremă. Un punct aparține mediatoarei unui segment dacă și numai dacă este egal depărtat de extremitățile segmentului.

• dacă MO este mediatoare, atunci MA=MB, și reciproc:
• dacă MA=MB, atunci MO este mediatoarea segmentului [AB].

Concurența mediatoarelor laturilor unui triunghi

Într-un triunghi putem construi trei mediatoare. Acestea sunt concurente, iar punctul de intersecție este centrul cercului circumscris triunghiului.

Observație. Cercul circumscris triunghiului este cercul care trece prin vârfurile triunghiului.

Simetricul unui punct A față de un punct O este punctul B, cu proprietatea că O este mijlocul segmentului [AB].

$\left[AO\right]\equiv \left[OB\right]$

Notație:

$s_{O}A=B$

Simetricul punctului A față de dreapta d este punctul B, cu proprietatea că d este mediatoarea segmentului [AB].

$$\begin{gathered} \left[AO\right]\equiv \left[OB\right] \\ d\perp AB \end{gathered}$$

Notație:

$s_{d}A=B$

Construcție: pentru a construi simetricul unui punct față de o dreaptă, ducem o perpendiculară din acel punct pe dreaptă; apoi măsurăm lungimea segmentului astfel obținut și-l prelungim cu un alt segment congruent cu acesta.

Două puncte sunt simetrice față de o dreaptă dacă aceasta este mediatoarea segmentului determinat de cele două puncte.

O dreaptă d este axă de simetrie față de o figură geometrică F, dacă simetricul oricărui punct al figurii F aparține de asemenea figurii F (o axă de simetrie împarte o figură în două părți care coincid prin suprapunere).

Exemplu:

Dreptele a și b sunt axe de simetrie pentru dreptunghi.

Simetrica unei figuri geometrice față de o dreaptă se obține construind simetricele tuturor punctelor figurii respective față de dreaptă. 

Exemplu: pentru a construi simetricul unui poligon față de o dreaptă, este suficient să construim simetricele vârfurilor sale și apoi să le unim.

 

 

 

 

 

O înălțime a unui triunghi este perpendiculara dusă dintr-un vârf al triunghiului pe latura opusă.

$AM\perp BC\Rightarrow AM înălțime$

Într-un triunghi putem construi trei înălțimi. Acestea sunt concurente, iar punctul lor de intersecție se numește ortocentrul triunghiului (se notează de obicei cu H).

Observație. Dacă triunghiul este dreptunghic, ortocentrul coincide cu vârful unghiului drept.

Bisectoarea unui unghi este semidreapta cu originea în vârful unghiului, care împarte unghiul în două unghiuri congruente.

[OM- bisectoarea unghiului AOB

$\measuredangle AOM\equiv \measuredangle MOB$

Proprietatea bisectoarei unui unghi

Teoremă. Un punct aparține bisectoarei unui unghi, dacă și numai dacă este egal depărtat de laturile unghiului.

• dacă [OM este bisectoare, atunci d(M, OA) = d(M, OB), adică MP = MQ și reciproc:
• dacă d(M, OA)= d(M, OB), atunci [OM este bisectoare.

​Concurența bisectoarelor unghiurilor unui triunghi

Într-un triunghi, cele trei bisectoare interioare ale unghiurilor sunt concurente. Punctul de intersecție al acestora este centrul cercului înscris în triunghi (se notează de obicei cu I).

 

​