Cazurile de congruenţă ale triunghiurilor oarecare

În această lecție vom discuta despre congruența triunghiurilor oarecare.

Ne reamintim că două segmente se numesc congruente dacă au aceeași lungime.

Dacă lungimea segmentului AB este egală cu lungimea segmentului MN,

acest lucru implică congruența celor două segmente.

AB va fi congruent cu segmentul MN.

Iar dacă avem două unghiuri, astfel încât măsura unghiului A să fie egală cu măsura unghiului M,

de aici va rezulta că unghiul A va fi congruent cu unghiul M.

Să privim în continuare următoarele două triunghiuri.

Avem triunghiul ABC și triunghiul A'B'C'.

Dacă ne uităm la lungimile laturilor acestor triunghiuri,

observăm că segmentul AB este congruent cu segmentul A'B',

segmentul BC este congruent cu B'C' și AC este congruent cu A'C'.

Referitor la unghiuri, putem observa o relație de congruență

între unghiul A și unghiul A',

între unghiul B și B' și, de asemenea, unghiul C este congruent cu unghiul C'.

Vom spune că cele două triunghiuri se numesc triunghiuri congruente.

O să dăm și definiția.

Fiind date două triunghiuri ABC și A'B'C',

spunem că acestea sunt congruente dacă sunt îndeplinite următoarele relații.

Segmentul AB este congruent cu segmentul A'B',

segmentul BC este congruent cu B'C' și segmentul CA este congruent cu C'A'.

Și avem, de asemenea, o relație de congruență între unghiurile acestor triunghiuri.

Unghiul A este congruent cu unghiul A',

unghiul B cu unghiul B' și unghiul C congruent cu unghiul C'.

Vom scrie că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul A'B'C'.

Cu alte cuvinte, două triunghiuri sunt congruente dacă ele coincid prin suprapunere.

Laturile și unghiurile acestor două triunghiuri,

între care există o corespondență determinată de congruența celor două triunghiuri,

se numesc elemente omoloage.

De exemplu, segmentele AB și A'B' se numesc elemente omoloage,

iar unghiul C cu unghiul C' vor fi, de asemenea, elemente omoloage.

În lecția trecută, am văzut că putem construi triunghiuri cunoscând doar trei elemente.

Înseamnă că dacă vom construi două triunghiuri având câte trei elemente congruente,

ele vor fi congruente.

Nu e necesar să demonstrăm toate cele șase congruențe

între elementele celor două triunghiuri.

Așadar, putem deduce următoarele cazuri de congruență ale triunghiurilor oarecare.

Primul caz de congruență este latură-unghi-latură.

Două triunghiuri care au câte două laturi congruente și unghiurile determinate de acestea,

respectiv congruente, sunt congruente.

Dacă ne uităm la cele două triunghiuri, A, B, C și M, N, P,

putem observa următoarele relații între elementele acestora.

Segmentul AB este congruent cu segmentul MN,

unghiul B este congruent cu unghiul N

și latura BC este congruentă cu latura NB.

Din aceste trei relații va rezulta, conform acestui caz latură-unghi-latură,

că triunghiul ABC va fi congruent cu triunghiul MNP.

Următorul caz de congruență, cazul unghi-latură-unghi,

două triunghiuri care au câte o latură și unghiurile alăturate ei,

respectiv congruente, sunt congruente.

Între unghiurile PQR și STV observăm că latura QR este congruentă cu TV

și unghiurile alăturate acestor două segmente sunt unghiuri congruente.

Unghiul Q este congruent cu unghiul T,

segmentul QR este congruent cu segmentul TV

și unghiul R este congruent cu unghiul V.

Din aceste trei relații rezultă, conform cazului unghi-latură-unghi,

că triunghiul PQR este congruent cu triunghiul STV.

Și următorul caz de congruență,

cazul latură-latură-latură,

două triunghiuri care au toate laturile respectiv congruente, sunt congruente.

În aceste două triunghiuri putem observa următoarea relație de congruență,

segmentul AO este congruent cu segmentul MN,

apoi segmentul OB este congruent cu NP

și latura AB este congruentă cu latura MP.

Din aceste trei relații rezultă, conform cazului latură-latură-latură,

că triunghiul AOB va fi congruent cu triunghiul MNP.

Ar mai exista un caz de congruență latură-unghi-unghi,

dar acela se reduce la cazul unghi-latură-unghi,

deci principalele cazuri de congruență rămân acestea trei.

În continuare o să facem o aplicație.

Fie triunghiul ABC congruent cu triunghiul MON conform figurii de mai jos.

Aflați lungimea segmentului BC și masura unghiului MON.

Observăm că lungimea segmentului AB este de 5 cm

și la fel lungimea segmentului MO este tot de 5 cm.

Înseamnă că segmentul AB este congruent cu segmentul MO.

Apoi observăm că segmentul AC este congruent cu segmentul MN

deoarece amândouă au lungimea de 6 cm.

Dat fiind faptul că triunghiurile sunt congruente,

acest lucru implică și congruența cele de a treia laturi

și anume BC va fi congruentă cu latura ON.

De aici putem trage concluzia că BC va avea lungimea de 8 cm.

Să redactăm cele spuse până acum.

Având în vedere că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul MON,

de aici va rezulta că latura BC este congruentă cu latura ON

pentru că congruența triunghiurilor implică congruența elementelor omoloage,

de unde rezultă că BC va fi egal cu ON și egal cu 8 cm.

Mai trebuie să aflăm măsura unghiului MON.

Acest unghi va fi congruent cu unghiul B din triunghiul ABC,

însă observăm că nu cunoaștem nici măsura unghiului B.

Va trebui să aflăm întâi măsura unghiului B,

după care vom putea deduce și măsura unghiului O.

În triunghiul ABC se știe că suma măsurilor unghiurilor este de 180 grade.

Voi scrie că măsura unghiului A plus măsura unghiului B plus măsura unghiului C

este egală cu 180 grade. Această proprietate este valabilă pentru orice triunghi.

Măsura unghiului A este de 84 grade plus măsura unghiului B,

iar măsura unghiului C este de 42 grade, egal mai departe cu 180 grade.

Putem să adunăm 84 cu 42, pentru că adunarea este asociativă,

obținem 126 grade plus măsura unghiului B, egal cu 180 grade.

Scădem cele 126 grade din fiecare membru al egalității și obținem că măsura unghiului B

va fi egală cu 180 grade minus 126 grade, adică măsura unghiului B va fi egală cu 54 grade.

Revenind la desen, putem afirma că unghiul B este congruent cu unghiul O

și atunci măsura unghiului O va fi de 54 grade.

Având în vedere că triunghiul ABC este congruent cu triunghiul MON,

va rezulta că unghiul B este congruent cu unghiul O,

așadar măsura unghiului O va fi egală cu 54 grade.

În concluzie, măsura unghiului MON este egală cu 54 grade.