Simetria față de o dreaptă

Simetria față de o dreaptă. Voi începe prin a defini simetricul unui punct față de un punct.

Simetricul unui punct A față de punctul O este punctul B, cu proprietatea că O este mijlocul segmentului AB.

Vom nota acest lucru în felul următor. Simetricul punctului A față de punctul O este punctul B.

În continuare să vedem cum putem construi simetricul unui punct față de o dreaptă.

Simetricul punctului A față de dreapta D este punctul B, cu proprietatea că D este mediatoarea segmentului AB.

Avem o dreaptă D și un punct A exterior acesteia și ne propunem să construim simetricul punctului A față de dreapta D.

Va trebui să ducem o perpendiculară din A pe dreapta D cu ajutorul echierului.

Voi nota acest punct de intersecție cu O.

Pe prelungirea acestei perpendiculare vom considera un alt segment, OB, având lungimea egală cu cea al segmentului AO.

Astfel, vom spune că punctul B este simetricul punctului A față de dreapta D.

Această dreaptă este mediatoarea segmentului AB, iar punctul O este mijlocul segmentului AB.

Să luăm un alt exemplu.

Să construim simetricul punctului M față de dreapta D.

Vom proceda asemănător.

Ducem din M o perpendiculară pe dreapta D cu ajutorul echierului.

Notăm acest punct de intersecție cu litera O.

Măsurăm lungimea segmentului MO, apoi prelungim acest segment cu un alt segment, având aceeași lungime cu acesta.

Punctul astfel obținut se va nota cu N, iar N va fi simetricul punctului M față de dreapta D.

Rețineți că dreapta D trebuie să fie mediatoarea segmentului MN.

În continuare o să dăm o definiție.

Două puncte se numesc simetrice față de o dreaptă dacă aceasta este mediatoarea segmentului determinat de cele două puncte.

În această figură punctele M și N sunt simetrice față de dreapta PO, deoarece dreapta PO este mediatoarea segmentului MN.

O dreaptă D este axă de simetrie pentru o figură geometrică F, dacă simetricul oricărui punct al figurii F față de dreapta D aparține de asemenea figurii F.

Simetria există peste tot în jurul nostru, în natură, în construcții, în artă, muzică, știință, în structura cristalelor și, bineînțeles, simetria există și în matematică.

Putem remarca, de exemplu, simetria unei frunze a unui avion sau simetria feței umane.

Să privim aceste imagini și să vedem dacă ele admit axă de simetrie.

O axă de simetrie este o dreaptă care împarte o figură geometrică în două figuri congruente care se pot suprapune perfect.

Am construit axele de simetrie ale acestor figuri.

Observăm că această axă de simetrie împarte imaginea fluturelui în două jumătăți care coincid prin suprapunere.

Putem spune că jumătatea din partea dreaptă este imaginea în oglindă a celelalte jumătăți.

Unele dintre aceste figuri pot avea mai multe axe de simetrie.

De exemplu, în această figură mai putem duce încă o axă de simetrie

pentru că și această dreaptă pe care am construit-o împarte figura în două jumătăți care coincid prin suprapunere.

Mai putem duce încă o axă de simetrie

și ar mai fi încă una.

Observăm că toate aceste drepte au proprietatea că ele împart figura geometrică în două jumătăți care coincid.

Iar ultima imagine, această stea roșie, are și ea mai multe axe de simetrie.

O să vă las pe voi să le găsiți. Vă dau un indiciu. Sunt în număr de cinci.

În continuare să facem o aplicație referitoare la axele de simetrie.

Câte axe de simetrie au figurile de mai jos?

Începem cu prima figură, acest triunghi dreptunghic.

Trebuie să construim o dreaptă care împarte acest triunghi în două jumătăți care coincid prin suprapunere.

Această axă de simetrie este următoarea dreaptă.

Ea trece prin vârful unghiului drept și prin mijlocul ipotenuzei.

Observăm că s-au format două jumătăți.

Dacă am îndoi acest triunghi după dreapta pe care am trasat-o, cele două jumătăți s-ar suprapune.

Așadar, dreapta pe care am construit-o este axă de simetrie.

Să vedem dacă acest triunghi mai are și alte axe de simetrie.

Să ducem, de exemplu, încă o dreaptă printr-un alt vârf al triunghiului.

Putem observa că cele două triunghiuri care s-au format nu sunt congruente

deoarece triunghiul din stânga este un triunghi dreptunghic,

iar cel din dreapta este un triunghi obtuzunghic.

Așadar, cele două jumătăți nu coincid prin suprapunere.

Cea de a doua dreaptă nu este o axă de simetrie, așa că o vă ștergem.

Singura axă de simetrie pentru acest triunghi dreptunghic este dreapta pe care am construit-o.

Trecem la a doua figură geometrică. Avem un dreptunghi.

Putem duce o axă de simetrie care să treacă prin mijloacele a două laturi opuse.

Mai există și această axă de simetrie.

Așadar, am găsit până acum două.

Să vedem dacă am duce și o diagonală în acest dreptunghi.

Aceasta ar fi axă de simetrie.

Dacă ar fi axă de simetrie, ar trebui ca cele două triunghiuri care s-au format

să coincidă prin suprapunere.

Adică dacă am îndoi acest dreptunghi după dreapta pe care am trasat-o,

ar trebui să avem două jumătăți care se pot suprapune.

Însă observăm că acest lucru nu va avea loc,

deoarece pentru a se suprapune cele două triunghiuri,

ar trebui ca triunghiuri din partea dreaptă să aibă următoarea formă.

Așadar, ar trebui ca triunghiul din partea dreaptă să fie imaginea în oglindă

a triunghiului din partea stângă.

Observăm că acest lucru nu se întâmplă în cazul dreptunghiului,

așadar, cea de-a treia dreaptă pe care am construit-o nu este axă de simetrie.

Deci voi șterge dreapta aceasta, rămând doar primele două axe pe care le-am construit inițial.

Iar referitor la ultima figură geometrică, să vedem câte axe de simetrie putem găsi.

Aceasta ar fi prima.

A doua.

A treia.

A patra.

A cincea.

Și a șasea.

Așadar, am găsit șase axe de simetrie.

Am văzut până acum cum putem să construim axele de simetrie în cazul unor figuri geometrice.

Să vedem cum putem să construim simetrica unei figuri față de o axă.

Simetrica unei figuri față de o dreaptă poate fi intuitiv comparată cu o oglindire a figurii originale.

Cu ajutorul unei oglinzi, ținute de-a lungul dreptei D, se poate obține pentru fiecare figură geometrică F,

imaginea ei, F'

Geometric F' se obține construind pentru fiecare punct a lui F simetricul său.

Să construim în continuare simetricul unui poligon față de o dreaptă.

Vă reamintesc că un poligon este o linie frântă închisă.

Avem poligonul ABCD și ne propunem să construim simetricul acestui poligon față de dreapta D.

Dreapta D va fi axă de simetrie.

Pentru a construi simetricul acestui poligon față de dreapta D, vom construi simetricul fiecărui bârf al acestuia,

apoi unim punctele obținute.

Așadar vom duce din fiecare punct ABC și D câte o perpendiculară pe dreapta D.

Acestea vor fi simetricele punctelor față de dreapta D.

De reținut că dreapta D trebuie să rămână în permanență mediatoarea acestor segmente.

Apoi unim punctele astfel obținute, A prim B prim C prim și D prim, astfel încât să se formeze un nou poligon.

Vom spune că acest poligon este simetricul poligonului ABCD față de dreapta D.

La fel putem proceda și în cazul în care trebuie să construim simetricul unui segment față de o dreaptă sau al unui triunghi față de o dreaptă.