Mediatoarea unui segment

Mediatoarea unui segment. Concurența mediatoarelor laturilor unui triunghi.

Mediatoarea unui segment este perpendicularea adusă prin mijlocul segmentului.

Pentru a construi mediatoarea unui segment, avem nevoie de un liniar și echier.

Desenăm un segment AB, apoi fixăm mijlocul acestui segment, pe care l-am notat cu M,

și cu ajutorul echierului ridicăm o perpendiculară pe latura AB. Această perpendiculară este pe M.

Vom da imediat și o altă modalitate de construcție a mediatoarei unui segment, cu ajutorul compasului.

Așadar, având un segment AB și punctul M, mijlocul acestui segment,

deci M aparține segmentului AB, astfel încât AM să fie congruent cu MB,

iar PM să fie o perpendiculară pe AB,

vom spune că PM este mediatoarea segmentului AB.

Vom da și o proprietate a mediatoarei unui segment, care va fi scrisă sub formă de teoremă.

O teoremă este o propoziție matematică care exprimă un adevăr ce trebuie demonstrat.

Orice teoremă are trei părți, ipoteze, concluzie și demonstrație.

O teoremă a cărei ipoteză este concluzia unei teoreme date și a cărei concluzie este ipoteza teoremei date,

se va numi teoremă reciprocă, iar teorema inițială se va numi teoremă directă.

Reciproca unei teoreme poate fi adevărată sau falsă.

Dacă reciproca este adevărată, cele două teoreme pot fi enunțate într-o singură teoremă.

Vom da această proprietate sub forma unei teoreme directe și a teoremei reciproce.

Teorema directă este următoarea, dacă un punct aparține mediatoarei unui segment,

atunci el este egal departat de extremitățile segmentului,

iar teorema reciprocă, dacă un punct este egal departat de extremitățile unui segment,

atunci el aparține mediatoarei segmentului.

Vom arăta că aceste două teoreme sunt adevărate,

iar la final le vom scrie sub forma unei singure teoreme.

Începem cu prima teoremă. Voi scrie mai întâi ipoteza și concluzia.

Avem un segment AB, iar PM este mediatoarea acestuia.

Trebuie să arătăm că punctul P este egal departat de extremitățile segmentului.

PM este perpendiculară pe AB.

M este mijlocul segmentului, deci AM este congruent cu BM.

Trebuie să arătăm că PA este congruent cu PV. Începem demonstrație.

Pentru a arăta că segmentele PA și PB sunt congruente,

vom demonstra că triunghiurile PAM și PBM sunt congruente.

Observăm că acestea sunt triunghiuri dreptunghice,

deoarece PM este perpendiculară pe AB.

PM perpendiculară pe AB.

Rezultă că măsura unghiului PMA

este egală cu măsura unghiului PMB

și egal cu 90 grade.

Deci avem două triunghiuri dreptunghice.

Să vedem ce elemente congruente au acestea.

Se știe din ipoteză că AM este congruent cu BM.

AM și BM sunt catete în cele două triunghiuri dreptunghice

și vă observăm că acestea au o latură comună.

Aceasta este latura PM.

PM este cateta în fiecare dintre cele două triunghiuri.

PM este congruent cu PM,

fiind o latură comună.

Din aceste două relații va rezulta,

conform cazului de congruență cateta-cateta,

că triunghiul PAM este congruent cu triunghiul PBM

iar din congruența acestor două triunghiuri

va rezulta și congruența segmentelor PA și PB.

Deci am arătat că dacă un punct aparține mediatoarei unui segment

atunci el este egal depărtat de extremitățile segmentului.

Să demonstrăm acum teorema reciprocă.

Avem un punct P egal depărtat de extremitățile unui segment.

Având segmentul AB se știe că PA este congruent cu PB.

Trebuie să arătăm că acest punct P aparține mediatoarei segmentului.

Vom face o construcție ajutătoare.

Vom duce o perpendiculară din P pe AB.

Voi nota acest punct de intersecție cu M

și va trebui să arătăm că PM este mediatoarea segmentului.

În ipoteză vom scrie că PA este congruent cu PB.

Și trebuie să arătăm că PM este mediatoare.

Asta presupune că PM este perpendiculară pe AB

și că M este mijlocul segmentului AB.

Adică mai trebuie să arătăm că AM este congruent cu BM.

Observăm că ipoteza teoremei directe este concluzia teoremei reciproce.

Și ipoteza teoremei reciproce este concluzia teoremei directe.

Demonstrație.

Să anunțăm construcția făcută.

Fie PM perpendicular pe AB.

Așadar prima relație din concluzie rezultă chiar din construcția pe care am făcut-o.

Mai trebuie doar să arătăm că AM este congruent cu BM.

Pentru a arăta că AM este congruent cu BM

vom încadra aceste două segmente în cele două triunghiuri dreptunghice care s-au format.

O să comparăm triunghiurile PAM și PBM.

Vom demonstra că acestea sunt congruente iar din congruența lor va rezulta și congruența segmentelor AM și BM.

Așadar dacă PM este perpendiculară pe AB, s-au format două triunghiuri dreptunghice,

va rezulta că măsura unghiului PMA

este egală cu măsura unghiului PMB

și egal mai departe cu 90 de grade.

Ne mai trebuie doar două elemente respectiv congruente.

Știm din ipoteză că PA este congruent cu PB.

PA și PB sunt ipotenuze în cele două triunghiuri.

Această relație se știe din ipoteză.

Observăm că aceste triunghiuri mai au și o latură comună. Aceasta este cateta PM.

PM este congruent cu PM, fiind o latură comună.

Va rezulta din cele două relații, conform cazului de congruență ipotenuză cateta,

că triunghiul PAM este congruent cu triunghiul PBM,

iar de aici va rezulta că AM este congruent cu BM.

Deci am arătat că PM este mediatoarea segmentului.

Aceste două teoreme pot fi scrise sub forma unei singure teoreme,

cu ajutorul expresiei Dacă și Numai Dacă.

Un punct aparține mediatoarei unui segment.

Dacă și Numai Dacă este egal depărtat de extremitățile segmentului.

Avem un segment AB și ne propunem să construim mediatoarea acestui segment.

Vom folosi compasul.

Vom desena mai întâi un cerc cu centrul în punctul A

și o rază mai mare decât jumătate din lungimea segmentului AB.

Apoi construim un alt cerc cu centrul în punctul B și având aceeași rază cu primul cerc.

Observăm că cele două cercuri se intersectează în două puncte.

Vom uni cele două puncte de intersectie.

Era suficient și dacă desenam doar două arce de cerc, având aceiași rază.

Am construit așadar mediatoarea segmentului AB

folosind proprietatea din teorema pe care tocmai am demonstrat-o.

Putem să notăm acest segment cu E și F.

Vom spune că EF este mediatoarea segmentului AB.

În continuare o să discutăm despre mediatoarele laturilor unui triunghi.

În triunghiul ABC am construit mediatoarele laturilor.

Observăm că aceste mediatoare se intersectează într-un punct pe care l-am notat cu O.

Având în vedere că O aparține mediatoare segmentului AC,

O este egal depărtat de extremitățile segmentului AC,

adică distanța de la O la punctul A va fi egală cu distanța de la O la punctul C.

Punctul O fiind situat și pe mediatoarea segmentului BC,

el va fi egal depărtat de extremitățile segmentului BC,

adică segmentul OB va fi egal cu segmentul OC.

Iar punctul O fiind situat și pe mediatoarea segmentului AB,

el va fi egal depărtat și de extremitățile segmentului AB.

Cu alte cuvinte constatăm că segmentele AO, OB și OC sunt segmente congruente.

Înseamnă că putem să construim un cerc cu centrul în punctul O

și având ca rază unul din aceste segmente.

Voi construi așadar un cerc cu centrul în O.

Observăm că acesta trece prin vârfurile triunghiului ABC.

Din acest motiv, el se va numi cercul circumscris triunghiului ABC.

În cazul în care triunghiul ABC este ascuțit unghic,

punctul O, adică centrul cercului circumscris triunghiului,

va fi situat în interiorul triunghiului ABC.

Dacă triunghiul ABC este drept unghic,

observăm că punctul O va fi situat pe latura AC,

adică pe ipotenuza triunghiului drept unghic.

Punctul O va fi situat chiar în mijlocul ipotenuzei.

Dacă triunghiul ABC este obtuz unghic,

observăm că punctul O va fi situat în exteriorul acestui triunghi.

Rețineți că intersecția mediatoarelor laturilor unui triunghi

este centrul cercului circumscris triunghiului.