1. Diviziuni ale unui interval

Definiţii.

• Fie [a,b] un interval de numere reale închis şi mărginit. Se numeşte diviziune a intervalului [a,b] un sistem de puncte \(\Delta = \left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )\) astfel încât \(a= x_{0}< x_{1}< ...< x_{n-1}< x_{n}= b\).
• Punctele \(x_{0},x_{1},...,x_{n}\) se numesc puncte de diviziune. 
• Intervalele \(\left [ x_{0},x_{1} \right ],\left [ x_{1},x_{2} \right ],...,\left [ x_{n},x_{n-1} \right ]\) se numesc intervale de diviziune.
• Sistemul de puncte \(\xi = \left ( \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n} \right ), \xi _{i}\in \left [ x_{i-1},x_{i} \right ],i= \overline{1,n}\) se numeşte sistem de puncte intermediare asociat diviziunii \(\Delta\).
• Se numeşte norma diviziunii \(\Delta\) cea mai mare dintre lungimile intervalelor de diviziune \(\left [ x_{0},x_{1} \right ],\left [ x_{1},x_{2} \right ],...,\left [ x_{n},x_{n-1} \right ]\) .

Notaţie: \(\left \| \Delta \right \|= max\left ( x_{i}-x_{i-1} \right ), i=\overline{1,n}\).

• Diviziunea \(\Delta\) se numeşte echidistantă dacă toate intervalele de diviziune au aceeaşi lungime.

2. Sume Riemann

Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\), \(\Delta = \left ( x_{1},x_{2},...,x_{n} \right )\) o diviziune a intervalului \(\left [ a,b \right ]\) şi sistemul de puncte intermediare \(\xi = \left ( \xi _{1},\xi _{2},...,\xi _{n} \right )\) asociat diviziunii \(\Delta\).
Se numeşte suma Riemann asociată funcţiei \(f\), diviziunii \(\Delta\) şi sistemului de puncte intermediare \(\xi\), numărul real
\(\sigma _{\Delta }\left ( f,\xi \right )= \sum_{i= 1}^{n}f(\xi _{i})\cdot \left ( x_{i}-x_{i-1} \right )\).

Definiţii.

• O funcţie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) se numeşte funcţie integrabilă Riemann pe intervalul [a,b] dacă există un număr real \(I\) astfel încât pentru orice şir de diviziuni \(\left ( \Delta _{n} \right )\) ale intervalului [a,b], cu \(\lim_{n\rightarrow \infty }\left \| \Delta _{n} \right \|= 0\) şi orice şir de puncte intermediare \(\left ( \xi _{n} \right )\), şirul de sume Riemann corespunzător \(\sigma _{\Delta _{n}}\left ( f,\xi _{n} \right )\) este convergent către \(I\).
• Numărul \(I\) se numeşte integrala funcţiei \(f\) pe intervalul [a,b] sau integrala definită şi se notează \(\int_{a}^{b}f(x)dx\).

Proprietate. Orice funcţie integrabilă pe intervalul  [a,b] este mărginită.

Teorema lui Lebesgue. Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie mărginită. Dacă \(f\) are un număr finit de puncte de discontinuitate, atunci  \(f\) este integrabilă pe [a,b].
Teoremă. Orice funcţie continuă \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) este integrabilă pe [a,b].

Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie integrabilă pe [a,b] care admite primitive pe  [a,b] şi fie \(F\) o primitivă a lui \(f\). Atunci are loc egalitatea:
\(\int_{a}^{b}f(x)dx= F(b)-F(a)\)
(Formula lui Leibniz-Newton).

P1. (Proprietatea de liniaritate). Fie \(f,g:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) două funcţii integrabile pe [a,b] şi \(\alpha \in \mathbb{R}\). Atunci:

• funcţia \(f+g\) este integrabilă pe [a,b] şi \(\int_{a}^{b}\left [ f(x)+g(x) \right ]dx= \int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)
• funcţia \(\alpha f\)este integrabilă pe [a,b] şi \(\int_{a}^{b}\left (\alpha f \right )(x)dx= \alpha \int_{a}^{b}f(x)\).

P2. (Proprietatea de aditivitate la interval). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) şi \(c\in \left ( a,b \right )\) astfel încât \(f\) să fie integrabilă pe intervalele [a,c] şi [c,b]. Atunci \(f\) este integrabilă pe [a,b] şi are loc relaţia \(\int_{a}^{b}f(x)dx= \int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx\).

P3. (Pozitivitatea integralei). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie integrabilă pe [a,b] astfel încât \(f(x)\geq 0,\forall x\in \left [ a,b \right ]\). Atunci \(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq 0\).

P4. (Monotonia integralei). Fie \(f,g:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) funcţii integrabile pe [a,b] astfel încât \(f(x)\leq g(x),\forall x\in \left [ a,b \right ]\). Atunci \(\int_{a}^{b}f(x)dx\leq \int_{a}^{b}g(x)dx\).

P5. (Inegalitatea mediei). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie integrabilă pe [a,b] şi \(m,M\in \mathbb{R}\) astfel încât \(m\leq f(x)\leq M,\forall x\in \left [ a,b \right ]\). Atunci are loc relaţia \(m(b-a)\leq \int_{a}^{b}f(x)dx\leq M(b-a)\).

P6. (Modulul integralei). Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie continuă. Atunci \(\left | f \right |\) este funcţie integrabilă pe [a,b] şi are loc inegalitatea \(\left |\int_{a}^{b}f(x)dx \right |\leq \int_{a}^{b}\left |f(x \right |dx\).
 

Teorema de medie. Fie \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) o funcţie continuă. Atunci există \(\lambda \in \left [ a,b \right ]\) astfel încât
 \(\int_{a}^{b}f(x)dx= \left ( b-a \right )f\left ( \lambda \right )\).

Fie \(f,g:\left [ a,b \right ]\rightarrow \mathbb{R}\) funcţii derivabile cu derivatele continue. Atunci:
\(\int_{a}^{b}f(x)g'(x)dx= f(x)\cdot g(x)\mid _{a}^{b}-\int_{a}^{b}f'(x)g(x)dx\)
(Formula integrării prin părţi).

Fie \(I\subset \mathbb{R}\) un interval şi funcţiile \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow I,g:I\rightarrow \mathbb{R}\) astfel încât:

• funcţia \(f\) este derivabilă cu derivata continuă pe [a,b]
• funcţia \(g\) este continuă pe I

Atunci \(\int_{a}^{b}g(f(x))f'(x)dx= \int_{f(a)}^{f(b)}g(t)dt\).

Fie funcţiile \(f:\left [ a,b \right ]\rightarrow \left [ c,d \right ], g:\left [ c,d \right ] \rightarrow \mathbb{R}\) astfel încât:

• \(f\) este funcţie bijectivă, \(f\) şi \(f^{-1}\) sunt funcţii derivabile cu derivatele continue pe intervalul [a,b]
• \(g\) este funcţie continuă pe [c,d]

Atunci 
\(\int_{a}^{b}g(f(x))dx= \int_{f(a)}^{f(b)}g(t)\left ( f^{-1} \right )'(t)dt.\)